Question

x-1.证明:当x>1时,<lnx<x-1X用拉格朗日中值定理求

Answer 1

问：x-1.证明:当x>1时,

答：证明：设 f(x) = ln x - (x - 1)对于任意的 x > 1，根据拉格朗日中值定理，存在一个 t∈(1,x)，使得 f'(t) = 0。注意到 f'(x) = 1/x - 1，所以 f'(t) = 0 等价于 t = 1/t。设 y = 1/t，则 t = 1/y。因此 t 和 y 互为倒数，所以 t∈(1,x) 等价于 y∈(x,∞)。所以存在 y∈(x,∞)，使得 f'(1/y) = 0。再由于拉格朗日中值定理的条件，我们知道 f(1) = 0，f(x) > 0。因此我们需要证明 f(1/y) > 0。注意到 f(1/y) = ln(1/y) - (1/y - 1) = -ln y - 1/y + 1 = -ln y - (y - 1)/y = (1 - y)/y * ln y - (y - 1)/y。我们要证明的是 (1 - y)/y * ln y - (y - 1)/y > 0。对于 y > 1，有 ln y > 0，所以 (1 - y)/y * ln y > 0。同时，对于 y > 1，有 y > 1，所以 (y - 1)/y > 0。由于 (1 - y)/y * ln y > 0 且 (y - 1)/y > 0，所以 (1 - y)/y * ln y - (y - 1)/y > 0。因此我们得到了 f(1/y) > 0，所以 f(x) > 0。综上所述，我们证明了对于任意的 x > 1，都有 ln x < x - 1。