Question

已知在三角形abc中,3b²sinA=a²sinB,c=4,则三角形abc面积最大值

Answer 1

问：已知在三角形abc中,3b²sinA=a²sinB,c=4,则三角形abc面积最大值

问：是的

答：好的，亲，由于这道题分析解答需要一定时间，亲，耐心等待要2-3分钟可以嘛？

问：可以

答：亲，久等了

答：小编为您详细解答如下

答：首先，根据已知条件，我们可以利用正弦定理求出三角形abc中的各边长。具体来说，由3b²sinA=a²sinB可得a/b=√(3sinA/sinB)。再由c=4可知，该三角形为一个锐角等腰三角形（因为c<2a），即角A=60°，且角B=角C=60°。因此，我们可以得到a=2b，b=2√3/3，c=4。接着，我们可以运用海伦公式求出三角形abc的面积S，即S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为三角形abc的半周长，即p=(a+b+c)/2。代入a=2b，b=2√3/3，c=4后，可得p=2+2√3，S=4√3。最后，我们要证明4√3为三角形abc面积的最大值。由三角形面积公式可知，S=1/2×a×b×sinC。由于a,b均为常数，若想使S最大，则需让sinC最大。而当角C为90°时，sinC取最大值1。因此，当三角形abc为一直角三角形时，其面积最大，即S=4√3。

答：亲，以上是小编对于这道题的详细解答，亲看一下可以嘛

问：奥，答案上是3，但是没有过程我不知道对不对

答：我再核实一下

问：好的，麻烦小编了，这是一道强基计划的解三角形题，有点比普通高考的难

问：小编的解法有点高级，有没有高中的解法

答：我们可以运用以下的高中数学知识解决这道题目。首先，我们可以根据正弦定理得到a和b之间的关系式：a/b=sinB/(√3sinA)。然后，我们可以利用已知条件c=4，并根据余弦定理得到cosA=(16-b²-a²)/(8b)，从而通过代入b=a/2得到cosA=(3a²-64)/(32a)。接着，我们可以将cosA代入正弦定理中的sinA，得到sinA=sqrt(1-cos²A)=sqrt[(64-3a²)/(32a)²]。再代入a/b的关系式中得到b=2√3a/3。最后，我们可以根据三角形面积公式S=1/2×a×b×sinC来计算三角形abc的面积。由于c=4且B=C=60°，所以sinC=sinB=√3/2。将已知条件和上述结果代入可得S=4√3。因此，我们证明了当三角形abc为一等腰直角三角形时，其面积最大，即S=4√3。

答：高中的解法

答：余弦定理

问：好的谢谢小编

答：平台对我们有要求