Question

可微与可导的关系

Answer 1

一元函数中可导与可微等价。 多元函数可微必可导，而反之不成立。


可微的定义：

设函数y= f（x)，若自变量在点 x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数 f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分。

记作dy，即dy=A×Δx，当x=x0时，则记作dy|x=x0。

可导的定义：

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

可导，可微与连续之间的关系：

1、可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

2、可微与连续的关系：可微与可导是一样的。

3、可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。

4、可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

5、可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。

6、可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。