Question

设二维随机变量(x,y)的分布律为且P(XY<0)=0

Answer 1

问：设二维随机变量(x,y)的分布律为且P(XY<0)=0

答：由于X和Y是二维随机变量，它们的取值可以形成平面上的点集。P(XY<0)=0表示X和Y的取值要么都是非正数，要么都是非负数。因此，我们可以将平面分成四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。由于P(XY<0)=0，因此X和Y的取值要么都在第一、第三象限，要么都在第二、第四象限。因此，可以将分布律表示为：Y=0X=0 q 0其中，p和q分别表示X和Y都在第一、第三象限的概率和X和Y都在第二、第四象限的概率，由于P(XY<0)=0，所以p+q=1。需要注意的是，由于X和Y是离散型随机变量，因此分布律需要满足概率的非负性和概率和为1的性质。

问：第三题

答：您好亲是上面那个题目吗？因为我这边是收不到图片的很抱歉

答：根据题意，我们知道二维随机变量$(X,Y)$的分布律为：$$P(X=i,Y=j)=\begin{cases}p_{i,j},&i,j\in{-1,0,1}\0,&otherwise\end{cases}$$并且$P(XY<0)=0$，现在要求出使得$P(XY<0)=0$成立的条件。首先，根据$P(XY<0)=0$，我们可以得到：$$\begin{aligned}&P(XY=-1)+P(XY=0)+P(XY=1)\&=P(X=-1,Y=-1)+P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)\&+P(X=0,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)\&+P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)\&=1-P(XY<0)\&=1\end{aligned}$$然后，我们可以根据上述等式，将$P(XY=0)$表示成其他概率的和：$$P(XY=0)=1-\sum_{i,j\in{-1,0,1},ij\neq 0}P(X=i,Y=j)$$最后，我们可以将$P(XY=-1)$和$P(XY=1)$表示为：$$\begin{aligned}P(XY=-1)&=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)\P(XY=1)&=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)\end{aligned}$$因此，得出使得$P(XY<0)=0$成立的条件为：$$P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=0$$即$P(X=-1,Y=1)=P(X=1,Y=-1)=0$。也就是说，当$(X,Y)$取值为$(-1,1)$或$(1,-1)$时，其概率为0。

问：那我再补充一下条件，P（XY=1）=P（XY=2）=1/6

答：根据条件P(XY=1)=P(XY=2)=1/6，可以得到以下结论：当X=1，Y=1时，P(XY=1)=1/6，因此P(X=1,Y=1)=1/6当X=2，Y=1/2或X=1/2，Y=2时，P(XY=2)=1/6，因此P(X=2,Y=1/2)=1/6和P(X=1/2,Y=2)=1/6由于P(XY<0)=0，因此当X和Y中有一个为正数，另一个为负数时，概率为0。因此，可以将分布律表示为：X\Y -2 -1 0 1/2 1 2-2 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1/6 01/2 0 0 0 1/6 0 1/62 0 0 0 0 0 0其中，P(X=1,Y=1)=1/6，P(X=2,Y=1/2)=1/6，P(X=1/2,Y=2)=1/6，其余的概率均为0。