Question

2.设 f(x^2-1)=ln x^2/(x^2-1), 且 f((x))=ln(1+x), 则不定积分 -(x)dx=(-|||

Answer 1

问：2.设 f(x^2-1)=ln x^2/(x^2-1), 且 f((x))=ln(1+x), 则不定积分 -(x)dx=(-|||

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦根据题目已知条件，可以得到：f(x^2 - 1) = ln(x^2 / (x^2 - 1))f((x)) = ln(1 + x)要求的不定积分是 -(x)dx，即负号下为 (x)dx 的不定积分。因此，我们需要先对 (x)dx 进行变量代换，令 t = x^2 - 1，则有：dx = dt / (2x)同时，当 x = -1 时，t = x^2 - 1 = 0。因此，原不定积分可以转化为：-(x)dx = -∫(t=0)^(1) dt / (2√(t+1))接下来，我们需要考虑如何将变量代换后的不定积分转化为原函数。根据题目已知条件可得：f(x^2 - 1) = ln(x^2 / (x^2 - 1)) = 2ln|x| - ln|x^2 - 1|f((x)) = ln(1 + x)因此，我们可以将变量代换后的不定积分写成以下形式：-∫(t=0)^(1) dt / (2√(t+1)) = -∫(t=0)^(1) [f(t+1) - f(1)] dt / 2接下来，我们可以对 f(t+1) 进行变量代换，令 u = t + 1，则有：-∫(t=0)^(1) [f(t+1) - f(1)] dt / 2 = -∫(u=1)^(2) [f(u) - f(1)] du / 2因此，原不定积分可以写成以下形式：-(x)dx = -∫(u=1)^(2) [f(u) - f(1)] du / 2将题目已知条件代入上式，可得：-(x)dx = -∫(u=1)^(2) [ln(1 + u) - ln 2] du / 2-(x)dx = -[u ln(1 + u) - u + ln 2u]_(u=1)^(u=2) / 2-(x)dx = -[2 ln 3 - ln 4 - 1] / 2因此，最终答案为：-(x)dx = (ln 4 - 2 ln 3 + 1) / 2