Question

设ψ是数域F上n维线性空间V的线性变换，证明下列叙述等价：①V只有平凡的ψ-不变子空间②V中每个非零向量α都是循环向量，使V成为循环空间，即总有α，ψ（α）…ψ^n-1（α）线性无关③ψ的特征多项式在F上不可约

Answer 1

问：设ψ是数域F上n维线性空间V的线性变换，证明下列叙述等价：①V只有平凡的ψ-不变子空间②V中每个非零向量α都是循环向量，使V成为循环空间，即总有α，ψ（α）…ψ^n-1（α）线性无关③ψ的特征多项式在F上不可约

答：亲，根据你的描述，正在给你解答---设ψ是数域F上n维线性空间V的线性变换，证明下列叙述等价：①V只有平凡的ψ-不变子空间②V中每个非零向量α都是循环向量，使V成为循环空间，即总有α，ψ（α）…ψ^n-1（α）线性无关③ψ的特征多项式在F上不可约为了证明这三个叙述的等价性，我们需要分别证明它们之间的相互包含。

答：您好亲，首先假设①成立，也就是说V只有平凡的ψ-不变子空间。如果对于任意非零向量α，存在一个正整数k使得ψ^k(α)属于α张成的子空间中，那么该子空间一定是ψ-不变的，而由于假设中V没有非平凡的ψ-不变子空间，所以该子空间只能是{0}，即存在一个正整数n使得ψ^n(α)=0。因此，V中的每个非零向量都是循环向量，使得V成为循环空间。现在假设②成立，即V中的每个非零向量都是循环向量，使得V成为循环空间。考虑V的一个非平凡子空间W，它不是ψ-不变的。那么必然存在一个非零向量α在W中，但其ψ-轨道不全在W中（否则W就是ψ-不变的）。不妨设ψ^k(α)在W中，但ψ^(k+1)(α)不在W中。此时考虑所有形如{α, ψ(α), ..., ψ^k(α)}的集合，它们的维数为k+1，但是它们都在W中。然而，由于V是循环空间，这些集合必须线性相关，否则找到了一个非循环向量，与假设矛盾。因此，存在一组不全为零的系数使得它们的线性组合等于0。不妨设其中最小的非零系数对应的元素是β，则有ψ(β)=-a1α-a2ψ(α)-...-akψ^(k-1)(α)。这个等式表明，在W中至少存在一个ψ-轨道不全在W中的向量，也就是说W是ψ-不变的。现在假设③成立，即ψ的特征多项式在F上不可约。为了证明V只有平凡的ψ-不变子空间，我们可以采用反证法。假设存在一个非平凡的ψ-不变子空间W，那么限制ψ在W上的线性变换仍然是一种线性变换，且其特征多项式等于ψ的特征多项式的某个因子。由于该因子不是常数多项式，所以该线性变换的特征多项式在F上可约，这与假设矛盾。因此，V只有平凡的ψ-不变子空间。综上所述，三个叙述是等价的。

答：您好亲，首先，我们可以计算出φ的矩阵表示：[φ] = [0 1 0 0;0 0 2 0;0 0 0 1;0 0 0 0]接下来，我们需要求解属于特征值1的特征向量。设v=(x, y, z, w)是一个特征向量，则有[φ]v = λv⇔[0 1 0 0; 0 0 2 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0] [x; y; z; w] = 1 [x; y; z; w]⇔y = x, 2y = z, w = 0因此，特征值1的特征子空间由所有形如(x, x, 2x, 0)的向量张成。要求该特征子空间的一组基，我们可以取两个线性无关的向量作为基。例如，取(1, 1, 2, 0)和(0, 0, 1, 0)，则它们张成的子空间即为属于特征值1的特征子空间。该特征子空间的维数为2。