Question

两组数据方差求总方差

Answer 1

问：两组数据方差求总方差

答：你好同学。 假设有两组数据$X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$和$Y = \{y_1, y_2, ..., y_m\}$，它们的方差分别为$S_X^2$和$S_Y^2$，现在要求得这两组数据合并后的总方差$S_{XY}^2$，可以使用下面的公式： $$S_{XY}^2 = \frac{S_X^2\times (n-1) + S_Y^2\times (m-1)}{n+m-2} + \frac{n\times m \times (\bar X - \bar Y)^2}{n+m-2}$$ 其中，$\bar X$和$\bar Y$分别表示两组数据的均值，$(n-1)$和$(m-1)$分别是两组数据的自由度，$n$和$m$分别是两组数据的样本量。 公式中的最后一项表示两组数据合并后的样本均值之差的平方，乘以两个样本量的乘积后再除以总自由度$n+m-2$。

答：这个公式的意义在于：总方差是由两组数据各自的方差加权平均值，再加上合并后的样本平均值之差的平方乘以一个修正系数构成。这里的加权平均值的权重是各自的自由度，而服从$t$分布的样本均值之差的平方乘以乘积$n \times m$的值则对总方差进行了一定的修正。 换句话说，总方差不仅仅考虑了两组数据的方差，还通过样本平均值之差的平方和乘积$n \times m$进行了更为细致的调整，使得总方差更加精确地反映了数据的分散程度。这样的公式在统计学和数据分析中有着广泛的应用，尤其是在处理多组数据需要进行综合评估和比较时，该公式提供了非常实用的工具。