(12分)-|||-已知函数 f(x)=a|x-1|+x|x-a|-1/2(a>0) 有三个零点 x1,x2,x3(x
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由于 $f(x)$ 为绝对值函数的和，所以可以将其拆分成两个部分分别考虑：
$$f(x) = \begin{cases}(a+x)(1-a)^\frac12, & x \leq 1 \\(ax-x+a)(a-1)^\frac12, & x > 1 \\\end{cases}$$
对于第一部分，当 $x \leq 1$ 时，有 $a+x > 0$，$1-a > 0$，因此 $f(x) > 0$。当 $x = 1$ 时，$f(1) = 0$。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1]$ 上无零点。
对于第二部分，当 $x > 1$ 时，有 $ax-x+a > 0$，$a-1 > 0$，因此 $f(x) > 0$。当 $x = a$ 时，$f(a) = 0$。因此 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有一个零点 $x_3 = a$。
需要注意的是，$x_1,x_2$ 应该在 $(1,a)$ 的区间内，因为当 $x \leq 1$ 时，$f(x)$ 单调递增，当 $x > a$ 时，$f(x)$ 单调递增。因此 $x_1,x_2$ 可以通过求导数的方式求得。
咨询记录 · 回答于2023-12-23
(12分)-|||-已知函数 f(x)=a|x-1|+x|x-a|-1/2(a>0) 有三个零点 x1,x2,x3(x
由于 $f(x)$ 为绝对值函数的和，所以可以将其拆分成两个部分分别考虑：
$$
f(x) = \begin{cases}
(a+x)(1-a)^{\frac{1}{2}}, & x \leq 1 \\
(ax-x+a)(a-1)^{\frac{1}{2}}, & x > 1
\end{cases}
$$
对于第一部分，当 $x \leq 1$ 时，有 $a+x > 0$，$1-a > 0$，因此 $f(x) > 0$。当 $x = 1$ 时，$f(1) = 0$。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1]$ 上无零点。
对于第二部分，当 $x > 1$ 时，有 $ax-x+a > 0$，$a-1 > 0$，因此 $f(x) > 0$。当 $x = a$ 时，$f(a) = 0$。因此 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有一个零点 $x_3 = a$。
需要注意的是，$x_1, x_2$ 应该在 $(1, a)$ 的区间内，因为当 $x \leq 1$ 时，$f(x)$ 单调递增，当 $x > a$ 时，$f(x)$ 单调递增。因此 $x_1, x_2$ 可以通过求导数的方式求得。
对于第一部分，有：
$$f'(x) = a + (1-a)^{-\frac12} > 0$$
因此第一部分是单调递增函数，不可能有第二个零点。
因此 $x_1,x_2$ 必定在 $(1,a)$ 的区间内，满足：
$$(a+x)(1-a)^\frac12 = x(a-x+a)^\frac12$$
化简得：
$$x^2 - 2ax + a^2 - (a+1)x + a(1-a) = 0$$
根据韦达定理，有：
$$\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 2a+1 \\
x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = a^2 - a + \frac12 \\
x_1 x_2 x_3 = (a-1)^\frac32 \\
\end{cases}$$
代入 $x_3 = a$，解得：
$$\begin{cases}
x_1 + x_2 = 2 \\
x_1 x_2 = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt{a-1}} \\
\end{cases}$$
解得：
$$x_1 = 1 + \frac{1}{2\sqrt{a-1}}$$
代入 $x_3 = a$，解得：
$$\begin{cases}
x_1 + x_2 = 2 \\
x_1 x_2 = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt{a-1}} \\
\end{cases}$$
解得：
$$
x_1 = 1 + \frac{1}{2\sqrt{a-1}}, \quad x_2 = 1 - \frac{1}{2\sqrt{a-1}}
$$
因此，$f(x)$ 有三个零点：
$$
x_1 = 1 + \frac{1}{2\sqrt{a-1}}, \quad x_2 = 1 - \frac{1}{2\sqrt{a-1}}, \quad x_3 = a
$$
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