设X~U(-π/2,π/2),Y=cosX,求E(Y²)
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您好，亲亲，很高兴为您服务。
随机变量函数的概率密度：
从定义出发：
F(y) = p{Y <= y} = p{cosX <= y}
当 -π/2 <= X < 0 时，Y = cosX 是增函数，则：
F(y) = p{Y <= y} = p{cosX <= y} = p{X <= arccosy} ①
① = 在 -π/2 到 arccosy 上对 x 积分，积分式是 1/[π/2 - (-π/2)]
当 0 <= X < π/2 时，Y = cosX 是减函数，则：
F(y) = p{Y <= y} = p{cosX <= y} = p{arccosy <= X} ②
② = 在 arccosy 到 π/2 上对 x 积分，积分式是 1/[π/2 - (-π/2)]
以上就是方法，注意一点：只有单调的函数才有函数与其反函数同增减性，那么上述区间内不单调，需要分区间计算。
咨询记录 · 回答于2024-01-17
设X~U(-π/2,π/2),Y=cosX,求E(Y²)
您好，我是您的咨询老师，很荣幸为您解答问题，您的问题这边已经看到了哦，我正在快马加鞭为您整理答案，5分钟内回复给你~请您稍等一下。
您好，亲亲！下面是对随机变量函数概率密度的一种解读方式：
随机变量函数的概率密度可以从定义出发来理解。具体来说，F(y)表示Y小于或等于y的概率，可以表示为：
F(y) = p{Y <= y} = p{cosX <= y}
当X的取值范围在-π/2到0时，Y=cosX是增函数。因此，F(y)可以进一步表示为：
F(y) = p{Y <= y} = p{cosX <= y} = p{X <= arccosy} ①
在①的条件下，我们需要在-π/2到arccosy的区间内对X进行积分，积分公式为1/[π/2 - (-π/2)]。
当X的取值范围在0到π/2时，Y=cosX是减函数。因此，F(y)可以进一步表示为：
F(y) = p{Y <= y} = p{cosX <= y} = p{arccosy <= X} ②
在②的条件下，我们需要在arccosy到π/2的区间内对X进行积分，积分公式同样为1/[π/2 - (-π/2)]。
需要注意的是，只有单调的函数才具有函数与其反函数同增减性的特点。因此，上述区间内不单调，需要分区间计算。
希望对您有所帮助！如果您有任何疑问或需要进一步解释，请随时提问。
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