已知曲线 y=x^3-3x^2+6x+2 在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标
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您好亲，可以使用导数的概念求解该问题。因为曲线上某一点处切线的斜率，即该点处曲线的导数，是该点处切线的斜率的数值大小。所以如果在点P处和点Q处的切线平行，则这两点处的导数相同。 首先，求出曲线的导数：y' = 3x^2 - 6x + 6。 然后，根据题目条件，点P和点Q处的斜率相等，因此有： y'(P) = y'(Q) 将上式中的 y' 替换为其对应的值： 3a^2 - 6a + 6 = 3b^2 - 6b + 6 化简后得到： a^2 - b^2 + 2(a-b) = 0 因为 a 和 b 是两点的横坐标，所以它们满足 a ≠ b。因此，上式可以进一步变换为： a + b + 2 = 0 即： b = -2 - a 现在我们需要找到一个合适的 a 值，使得曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，且点P的纵坐标可以确定。 以 y(P) 为例，可以使用点斜式公式来表示点P处的切线方程： y - (a^3 - 3a^2 + 6a + 2) = y'(P)(x - a) 将 y'(P) 替换为其对应的值： y - (a^3 - 3a^2 + 6a + 2) = (3a^2 - 6a + 6)(x - a) 然后将 x 替换为 b = -2 - a，得到点Q处的切线方程： y - (a^3 - 3a^2 + 6a + 2) = (3a^2 - 6a + 6)(-2 - a - a) 化简后得到： y = -6a^2 - 14a - 10 现在，考虑 y 的正负性。当 a 大于零时，-6a^2 - 14a - 10 的值为负，因此点P的纵坐标为负数。当 a 小于零时，-6a^2 - 14a - 10 的值为正，因此点P的纵坐标为正数。因此，仅当 a 大于零时，点P的纵坐标为负数。 综上所述，已知曲线 y=x^3-3x^2+6x+2 在点P处的切线与在点Q处的切线平行，且点P的纵坐标为负数。
咨询记录 · 回答于2023-03-02
已知曲线 y=x^3-3x^2+6x+2 在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标
您好亲，可以使用导数的概念求解该问题。因为曲线上某一点处切线的斜率，即该点处曲线的导数，是该点处切线的斜率的数值大小。所以如果在点P处和点Q处的切线平行，则这两点处的导数相同。 首先，求出曲线的导数：y' = 3x^2 - 6x + 6。 然后，根据题目条件，点P和点Q处的斜率相等，因此有： y'(P) = y'(Q) 将上式中的 y' 替换为其对应的值： 3a^2 - 6a + 6 = 3b^2 - 6b + 6 化简后得到： a^2 - b^2 + 2(a-b) = 0 因为 a 和 b 是两点的横坐标，所以它们满足 a ≠ b。因此，上式可以进一步变换为： a + b + 2 = 0 即： b = -2 - a 现在我们需要找到一个合适的 a 值，使得曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，且点P的纵坐标可以确定。 以 y(P) 为例，可以使用点斜式公式来表示点P处的切线方程： y - (a^3 - 3a^2 + 6a + 2) = y'(P)(x - a) 将 y'(P) 替换为其对应的值： y - (a^3 - 3a^2 + 6a + 2) = (3a^2 - 6a + 6)(x - a) 然后将 x 替换为 b = -2 - a，得到点Q处的切线方程： y - (a^3 - 3a^2 + 6a + 2) = (3a^2 - 6a + 6)(-2 - a - a) 化简后得到： y = -6a^2 - 14a - 10 现在，考虑 y 的正负性。当 a 大于零时，-6a^2 - 14a - 10 的值为负，因此点P的纵坐标为负数。当 a 小于零时，-6a^2 - 14a - 10 的值为正，因此点P的纵坐标为正数。因此，仅当 a 大于零时，点P的纵坐标为负数。 综上所述，已知曲线 y=x^3-3x^2+6x+2 在点P处的切线与在点Q处的切线平行，且点P的纵坐标为负数。
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