Question

设x=cos2t,求y=sin2t(d^2y)/(dx^2)

Answer 1

问：设x=cos2t,求y=sin2t(d^2y)/(dx^2)

答：首先，我们可以利用三角恒等式将y表示为关于x的函数：y = 1 - x接下来，我们需要求出dy/dt和d^2y/dt^2。由于x = cos(2t)，因此有：dx/dt = -2sin(2t)带入y = 1 - x，得到：dy/dt = -dx/dt = 2sin(2t)再对dy/dt求导数，得到：d^2y/dt^2 = 4cos(2t)接下来，我们需要把dt/dx转化为dx/dt。由于：x = cos(2t)因此有：dx/dt = -2sin(2t)那么我们可以对y = 1 - x 求导数，得到：dy/dx = -1接下来，我们需要使用链式法则，将d^2y/dt^2 转化为 d^2y/dx^2。根据链式法则，有：d^2y/dx^2 = (d^2y/dt^2) / (dx/dt)^2将上述结果代入其中，得到：d^2y/dx^2 = (4cos(2t)) / (4sin^2(2t))最后，我们需要将sin和cos表达为x 的形式，即：sin(2t) = sqrt(1 - cos^2(2t)) = sqrt(1 - x^2)cos(2t) = x将上述结果代入之前的公式中，得到：d^2y/dx^2 = (4x) / (4(1 - x^2))化简后，得到最终结果：d^2y/dx^2 = 2 / (1 - x^2)因此，y=sin(2t)的二阶导数在x=cos(2t)处等于2/(1-cos^2(2t)) 或者2/(1-x^2)。