Question

如果(函数f(x-a)+f(x+a)=0,则周期T=

Answer 1

问：如果(函数f(x-a)+f(x+a)=0,则周期T=

答：对于任意实数a，如果函数f(x-a)+f(x+a)=0，则函数f(x)具有以2a为周期的周期性。证明如下： 对于任意实数x，有f(x-a)+f(x+a)=0，将x替换为x+2a，有： f(x+2a-a)+f(x+2a+a)=0 即 f(x+a)+f(x+3a)=0 因为f(x-a)+f(x+a)=0，所以有f(x-a)= -f(x+a)，将其代入上式得到： -f(x+a)+f(x+3a)=0 即f(x+a)=f(x+3a) 同理可得：f(x+2a)=f(x+4a)=f(x+6a)=... 因此，函数f(x)具有以2a为周期的周期性，即T=2a。