Question

1+-根号3+根号5+-根号7 通项公式

Answer 1

问：1+-根号3+根号5+-根号7 通项公式

答：我们可以使用数学归纳法来证明这个问题。当n=1时，原式为1+-根号3+根号5+-根号7,可以化简为2+-根号10。假设当n=k时，原式有通项公式：f(k)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k}+\sqrt{\frac{2^k-1}{2^k}}+\sqrt{\frac{2^k+1}{2^k}}+\cdots+\sqrt{\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}}f(k)=1+ 21​ + 31​ +⋯+ 2 k 1​ + 2 k 2 k −1​ ​ + 2 k 2 k +1​ ​ +⋯+ 2 k+1 2 k+1 −1​ ​ 我们需要找到当n=k+1时，f(k+1)的表达式。首先，我们可以将f(k)中的最后一项进行变形：\sqrt{\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}}=\sqrt{\frac{(2^k)^2}}{2^k\cdot 2^1-1}=\frac{(\sqrt{2^k})^2}{2^k-1}然后，我们将f(k)中的所有项都乘以一个常数\betaβ,使得原式变为：f(k)\cdot\beta=f(k)+\beta(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k}+\sqrt{\frac{(2^k)^2}{2^k\cdot 2^1-1}}+\sqrt{\frac{(2^k)^2}{2^k\cdot 2^1-1}}+\cdots+\sqrt{\frac{(2^k)^2}{2^k\cdot 2^1-1}})=(1+\beta)(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k})f(k)⋅β=f(k)+β( 21​ + 31​ +⋯+ 2 k 1​ + 2 k ⋅2 1 −1(2 k ) 2 ​ ​ + 2 k ⋅2 1 −1(2 k ) 2 ​ ​ +⋯+ 2 k ⋅2 1 −1(2 k ) 2 ​ ​ )=(1+β)( 21​ + 31​ +⋯+ 2 k 1