Question

求微分方程+y'+2xy=4x+在初始条件+y|_(x=0)=3+下的特解

Answer 1

问：求微分方程+y'+2xy=4x+在初始条件+y|_(x=0)=3+下的特解

答：为了求解微分方程 $y'+2xy=4x$，我们可以使用一阶线性常微分方程的常数变易法。首先，将微分方程重写为标准形式：$y'=-2xy+4x$。然后，设通解为 $y(x)=u(x)v(x)$，其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是待定函数。对 $y(x)=u(x)v(x)$ 进行求导，得到：$y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$。将上述结果代入原微分方程中，并整理得到：$u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+2xu(x)v(x)=4x$。接下来，选择合适的 $u(x)$ 和 $v(x)$ 使得方程简化。由于常数变易法的思想是通过选取适当的 $u(x)$ 和 $v(x)$ 来消去 $x$ 的项，我们可以尝试让 $v(x)=e^{x^2}$。这样，$v'(x)=2xe^{x^2}$。将 $v(x)$ 和 $v'(x)$ 代入方程，并整理得到：$u'(x)e^{x^2}+2xu(x)e^{x^2}+2xu(x)e^{x^2}=4x$。化简可得：$u'(x)e^{x^2}+4xu(x)e^{x^2}=4x$。继续化简，得到：$\fr

答：继续化简，得到：$\frac{d}{dx}(u(x)e^{x^2})=4x$。对上式两边同时关于 $x$ 求不定积分，得到：$u(x)e^{x^2}=\int 4x \, dx =2x^2 + C_1$，其中 $C_1$ 为常数。解出 $u(x)$：$u(x)=\frac{2x^2}{e^{x^2}} + \frac{C_1}{e^{x^2}}$。因此，微分方程的特解为：$y(x)=u(x)v(x)=\left(\frac{2x^2}{e^{x^2}} + \frac{C_1}{e^{x^2}}\right)e^{x^2}=2x^2 + C_1$。根据初始条件 $y|_{(x=0)}=3$，代入 $x=0$ 和 $y=3$，解方程可得：$3=C_1$。因此，带有初始条件 $y|_{(x=0)}=3$ 的特解为：$y(x)=2x^2+3$。希望这个答案可以帮到您的呢亲。