Question

三阶方阵A=(a1,a2,a3),且|A|=3,若B=(a1+4a3,3a1-2a2,a3),则|B|=

Answer 1

问：三阶方阵A=(a1,a2,a3),且|A|=3,若B=(a1+4a3,3a1-2a2,a3),则|B|=

答：您好亲亲依据矩阵的行列式性质，我们知道如果对一个矩阵的某一行（或某一列）进行倍乘然后加到另一行（或另一列）上去，矩阵的行列式不会改变。所以，我们可以将矩阵B的第一行变换为a1+4a3,第二行变换为3a1-2a2, 第三行保持不变。矩阵B可以表示为：B = (a1+4a3, 3a1-2a2, a3) = (a1+4a3, 0, 0) + (0, 3a1-2a2, 0) + (0, 0, a3)由于行列式的分配性质，我们可以将矩阵B拆分成三个矩阵的行列式之和：|B| = |(a1+4a3, 0, 0)| + |(0, 3a1-2a2, 0)| + |(0, 0, a3)|计算每个矩阵的行列式：|(a1+4a3, 0, 0)| = (a1+4a3) * |(1, 0, 0)| = a1+4a3|(0, 3a1-2a2, 0)| = (3a1-2a2) * |(0, 1, 0)| = 3a1-2a2|(0, 0, a3)| = a3 * |(0, 0, 1)| = a3将计算结果代入得到：|B| = (a1+4a3) + (3a1-2a2) + a3 = 4a1 - 2a2 + 5a3所以，矩阵B的行列式为4a1 - 2a2 + 5a3。

问：所以算下来正确答案｜B｜=

答：|B| = (1/3) * (9a1^2 a3 - 6a1a2 a3 + 12a3^3 - 8a3^2 a2) = 3a1^2 a3 - 2a1a2 a3 + 4a3^3 - (8/3)a3^2 a2

答：|B|=-18a3

答：|B| = 12a1^2 - 8a1a2 + 3a3a1 - 2a3a2 - 3a1a3 + 2a2a3再依据公式3，我们知道|A| = a1(a2a3 - a3a2) + a2(a3a1 - a1a3) + a3(a1a2 - a2a1) = a1a2a3 - a1a3a2 + a2a3a1 - a2a1a3 + a3a1a2 - a3a2a1 = 3依据题目给出的条件，|A| = 3，代入上式进行计算，得到：12a1^2 - 8a1a2 + 3a3a1 - 2a3a2 - 3a1a3 + 2a2a3 = 3

答：|B|=3

问：三阶方阵A的特征值为-2，2，3，B=A²-4E，则r（B）=

答：r(B)代表矩阵B的秩。依据给定信息，矩阵A是一个三阶方阵，它的特征值为-2，2和3哦。首先，我们可以求出矩阵A的平方A²。由于A的特征值为-2，2和3，那么A的对角化矩阵D为：D = [ -2 0 0 0 2 0 0 0 3 ]再求出A的特征向量矩阵P：P = [ v1 v2 v3 ]其中，v1，v2和v3分别为对应特征值的特征向量。然后，计算A的逆矩阵A⁻¹：A⁻¹ = P · D⁻¹ · P⁻¹接下来，计算矩阵B：B = A² - 4E将A²和4E带入上式中：B = (P · D · P⁻¹)² - 4E= P · D² · P⁻¹ - 4E= P · [ -2² 0 0 0 2² 0 0 0 3² ] · P⁻¹ - 4E= P · [ 4 0 0 0 4 0 0 0 9 ] · P⁻¹ - 4E= P · [ 4 0 0 0 4 0 0 0 9 ] · P⁻¹ - [ 4 0 0 0 4 0 0 0 4 ]= P · [ 0 0 0 0 0 0 0 0 5 ] · P⁻¹= 0B的所有元素都为零，所以矩阵B的秩r(B)为0。