Question

求函数1/3x^3-4x+4的凹凸区间和拐点

Answer 1

问：求函数1/3x^3-4x+4的凹凸区间和拐点

答：您好。函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$的一阶导数和二阶导数分别为：$$f'(x)=x^2-4,\quad f''(x)=2x$$这里我们需要求解的是函数曲线的凹凸性质和拐点，因此需要我们分别求解二阶导函数$f''(x)$等于零的时候的$x$值，即：$$f''(x)=2x=0\Rightarrow x=0$$因此，$x=0$是函数曲线的一个拐点。接下来，我们需要分析函数曲线的凹凸性质，对于$x<0$，由于$f''(x)0$，由于$f''(x)>0$，因此函数曲线为上凸的。因此，函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$的凹凸区间为：- 当$x0$时，函数曲线为上凸。

问：那个$符号什么意思啊 还是不用管

答：哦，抱歉让你困惑了。通常情况下，$符号是用来表示某些特殊类型的代码或命令的。

问：就是我写上去也不用抄这个符号吧

答：请耐心等待一下，老师给你重新能

答：首先，函数的一阶导数是函数斜率的值，也被称为函数的变化率。二阶导数是函数的斜率的变化率，也被称为函数的曲率。当二阶导数为负时，函数呈现凹向下的形状，当二阶导数为正时，函数呈现凹向上的形状。拐点是函数从凹向上到凹向下或者从凹向下到凹向上的转折点，在拐点处，二阶导数为零。因此，函数的凹凸性、拐点位置都是通过导数的符号及其变化来确定的。

问：噢噢

答：亲，让你久等了首先，我们可以求出该函数的一阶导数和二阶导数：1/3x^3 - 4x + 4 的一阶导数是 x^2 - 41/3x^3 - 4x + 4 的二阶导数是 2x为了求凹凸区间和拐点，我们需要解这个函数的二阶导数等于 0 的方程：2x = 0x = 0这个方程的解就是函数的拐点，即当 x = 0 时函数的拐点。接下来，可以考虑用函数的二阶导数来确定函数的凹凸性：当 2x > 0 时，函数是向上凸的，当 2x < 0 时，函数是向下凸的，当 2x = 0 时函数的凹凸性不确定。因此，函数的凹凸区间为 (-∞,0) 上是向下凸的，(0,+∞) 上是向上凸的。

答：这样看懂了吧

问：看懂了 谢谢