Question

f(2x+2)关于x=-1/2对称

Answer 1

问：f(2x+2)关于x=-1/2对称

答：函数$f(2x+2)$关于$x=-\frac{1}{2}$对称，其对称中心是$x=-\frac{1}{2}$。根据对称性的定义，对于任意的$x$，都有$f(2x+2)+f(-2x-2)=c$，其中$c$是一个常数。我们可以通过代入$x=-\frac{1}{2}$来验证是否满足对称性。 首先，代入$x=-\frac{1}{2}$得到： $f(2(-1/2)+2)+f(-2(-1/2)-2)=f(1)+f(-1)=c$ 接下来，我们需要证明$f(1)+f(-1)=c$，即证明函数$f(2x+2)$关于$x=-\frac{1}{2}$对称。 由于函数$f(2x+2)$关于$x=-\frac{1}{2}$对称，当$x=-\frac{1}{2}$时，有： $f(2(-1/2)+2)=f(1)$ $f(-2(-1/2)-2)=f(-1)$ 将上述等式代入$f(1)+f(-1)=c$中，得到： $f(1)+f(-1)=f(2(-1/2)+2)+f(-2(-1/2)-2)=c$ 因此，我们证明了函数$f(2x+2)$关于$x=-\frac{1}{2}$对称，其对称中心是$x=-\frac{1}{2}$。

问：f（2x+2）关于x=－1/2对称，且f（x）为奇函数，怎么就f（x）的周期性

问：f（2x+2）关于x=－1/2对称，且f（x）为奇函数，怎么求f（x）的周期性

答：同学，周期性都是4。

答：同学： 由于f(2x+2)关于x=-1/2对称，因此有f(-2x-2)=f(2x+2)，即f(x)=f(-x-4)。 同时，已知f(x)为奇函数，因此有f(-x)=-f(x)。 将这两个式子结合起来，可以得到： f(x)=f(-x-4)=-f(x+4)即f(x+4)=-f(x)。 这意味着函数f(x)的周期为4，且在每个周期内呈现奇对称性。 因此，f(x)的周期性为4。 另外需要注意的是，f(x)的周期性只与f(2x+2)关于x=-1/2的对称性和f(x)为奇函数有关，与f(x)的具体表达式无关。 因此，无论f(x)的表达式是什么样的，只要满足上述条件，其周期性都是4。

问：为什么f（2x+2）关于x=－1/2对称就可以得到f（-2x－2）=f（2x+2）

答：同学，我们首先设 $y = f(2x + 2)$。 由此，我们可以得出 $x = \frac{y - 2}{2}$。 接下来，我们将 $x$ 代入 $f(-2x - 2)$ 中，得到： $f(-2x - 2) = f(-2(\frac{y - 2}{2}) - 2) = f(4 - x - y)$ 然后，我们将 $y = f(2x + 2)$ 代入上式，得到： $f(-2x - 2) = f(4 - x - f(2x + 2))$ 再次，我们将 $x = \frac{y - 2}{2}$ 代入上式，得到： $f(-2x - 2) = f(4 - \frac{y - 2}{2} - f(2(\frac{y - 2}{2}) + 2))$ 现在，我们对上式进行整理，得到： $f(-2x - 2) = f(-x - 4 + f(x))$ 由于 $f(x)$ 是奇函数，因此有 $f(-x) = -f(x)$。代入上式，得到： $f(-2x - 2) = -f(x + 4 - x) = -f(4)$ 由此，我们得出： $f(-2x - 2) = f(2x + 2)$ 即函数 $f(2x + 2)$ 关于 $x = -\frac{1}{2}$ 对称。 所以，我们可以得到 $f(-2x - 2) = f(2x + 2)$ 的关系。