Question

怎么证明三个向量组线性无关

Answer 1

三个向量组在向量空间中的线性无关性可以通过向量的线性组合来证明。如果对于三个向量组，存在唯一的一组系数（不全为0）使得它们的线性组合等于零向量，则这三个向量组是线性相关的。
具体来说，设三个向量组为a、b、c，它们的线性组合为：
k1*a + k2*b + k3*c = 0
其中k1、k2、k3为系数，不全为0。为了证明这三个向量组线性无关，需要证明k1=0、k2=0、k3=0。
假设k1≠0，则可以得到：
a = (-k2/k1)*b + (-k3/k1)*c
这说明a可以由b、c线性表示，因此a不是线性无关的。同样的，如果k2≠0或k3≠0，则也可以证明b或c是线性关联的。
为了证明k1、k2、k3都等于0，可以使用矩阵的方法。将向量组a、b、c按照列向量的形式构成矩阵A，即：
A = [a， b， c]
考虑方程Ax=0的解，其中x为系数向量。
根据线性代数理论，对于方程Ax=0有两种情况：一是只有零解，即x=0；二是存在非零解。
如果Ax=0存在非零解，则其解空间为一个以原点为中心的向量子空间，该向量子空间的维数等于A的列数减去A的秩。因此，如果A的秩小于3，则Ax=0存在非零解，即a、b、c线性相关。如果A的秩等于3，则Ax=0只有零解，即a、b、c线性无关。
因此，可以通过计算矩阵A的秩来判断三个向量组的线性无关性。如果A的秩等于3，则这三个向量组线性无关；否则，它们线性相关。
综上所述，可以通过向量的线性组合、解矩阵方程或计算矩阵的秩来证明三个向量组的线性无关性。