Question

反常积分中p级数怎么确定的

Answer 1

问：反常积分中p级数怎么确定的

答：对于反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$，如果 $f(x)$ 是形如 $f(x)=\frac{1}{x^p}$ 的函数，则我们称之为 $p$ 型反常积分。其中 $p$ 是一个实数。当 $p>1$ 时，该反常积分收敛；当 $p\leq 1$ 时，该反常积分发散。因此，$p$ 型反常积分的收敛性与 $p$ 的大小有关。我们称 $p$ 为收敛指数。当 $p$ 大于收敛指数时，该反常积分收敛；当 $p$ 小于等于收敛指数时，该反常积分发散。具体地，对于 $p$ 型反常积分 $\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$，我们有以下结论：1. 当 $p>1$ 时，该反常积分收敛。收敛区间为 $[a,+\infty)$。2. 当 $p\leq 1$ 时，该反常积分发散。3. 当 $p=1$ 时，该反常积分称为对数型反常积分 $\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$。该反常积分在 $a=1$ 时发散，在 $a>1$ 时收敛。

问：抱歉我不太理解，可否详细说一下呢？

答：对于反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$，如果 $f(x)$ 是形如 $f(x)=\frac{1}{x^p}$ 的函数，则我们称之为 $p$ 型反常积分。其中 $p$ 是一个实数。当 $p>1$ 时，该反常积分收敛；当 $p\leq 1$ 时，该反常积分发散。因此，$p$ 型反常积分的收敛性与 $p$ 的大小有关。我们称 $p$ 为收敛指数。当 $p$ 大于收敛指数时，该反常积分收敛；当 $p$ 小于等于收敛指数时，该反常积分发散。具体地，对于 $p$ 型反常积分 $\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$，我们有以下结论：1. 当 $p>1$ 时，该反常积分收敛。收敛区间为 $[a,+\infty)$。2. 当 $p\leq 1$ 时，该反常积分发散。3. 当 $p=1$ 时，该反常积分称为对数型反常积分 $\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$。该反常积分在 $a=1$ 时发散，在 $a>1$ 时收敛。