Question

∫f(x)dx∫f(y)dy=∫f(x)f(y)dxdy吗

Answer 1

问：∫f(x)dx∫f(y)dy=∫f(x)f(y)dxdy吗

答：在一些情况下，这个等式成立，具体来说，如果 f(x)和f(y)是连续函数或者f(x)和f(y)是非负可积函数，则该等式成立

答：如果不满足这个条件该等式不成立

问：我看到过的一些答案是积分上下限必须为常数才能拆

问：这个积分区域是函数也能成立吗？而且，拆成两个积分的乘积后表示两个面积相乘为什么能表示体积

答：关于积分上下限不能是函数的问题，这主要是因为积分上下限必须是常数，否则无法定义积分。但是如果积分区域是函数的图像，我们可以通过变量替换的方法来将其转化为常数积分区间。比如可以令x=u，y=v，然后把积分区域表示为u和v的函数形式，从而将其转化为常数积分区间。关于为什么可以将积分拆成两个积分相乘来表示体积，这是因为积分本质上是求面积，所以两个积分的乘积就表示了一个平面区域的面积，而这个平面区域在z=f(x,y)处的高度是f(x,y)，因此这个积分乘积就可以看作是在xyz三个方向上的长度、宽度和高度的乘积，也就是一个体积。