Question

系数矩阵的秩与解的关系

Answer 1

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解；齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解，n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。
齐次线性方程组：有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论：齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n。
齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。如果m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
性质：
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4.n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。