Question

若y=ax²＋(3a－1)x-3且y＜0时，求x的取值范围

Answer 1

问：若y=ax²＋(3a－1)x-3且y＜0时，求x的取值范围

答：若y=ax²＋(3a－1)x-3且y＜0时，我们需要求解方程ax²＋(3a－1)x-3＜0。首先，我们可以找出这个二次方程的根，即求解ax²＋(3a－1)x-3＝0。使用二次方程的求根公式，可以得到：x = [-(3a－1) ± √((3a－1)²-4a(-3))] / 2a我们可以先化简根中的部分：(3a－1)²-4a(-3) = 9a² - 6a + 1 + 12a = 9a² + 6a + 1因此，x = [-(3a－1) ± √(9a² + 6a + 1)] / 2a由于y＜0时，ax²＋(3a－1)x-3＜0，我们要求的是方程的解x的取值范围。根据二次方程的性质，当方程的判别式(9a² + 6a + 1)＜0时，方程有两个不同的实根，此时方程的解集为(-∞, x1)∪(x2, +∞)，其中x1和x2为方程的两个根。我们可以进一步解如下：9a² + 6a + 1＜0(3a + 1)² - (2a)² ＜ 0(3a + 1 - 2a)(3a + 1 + 2a) ＜ 0(a + 1)(5a + 1) ＜ 0由于这是一个二次函数的不等式，我们可以通过绘制函数图像或使用符号法进行求解。(a + 1)(5a + 1) ＜ 0当(a + 1)＞0且(5a + 1)＜0时，不等式成立，即a > -1 且 a < -1/5。当(a + 1)＜0且(5a + 1)＞0时，不等式成立，即a -1 且 a > -1/5。综上所述，x的取值范围为(-∞, x1)∪(x2, +∞)，其中x1和x2为方程ax²＋(3a－1)x-3＝0的根，而a的取值范围为a > -1 且 a < -1/5 或 a -1 且 a > -1/5。