Question

1/(2-x²)的原函数怎么求

Answer 1

问：1/(2-x²)的原函数怎么求

答：亲亲很高兴为您解答1/(2-x²)的原函数怎么求步骤如下：首先，对分母进行因式分解得到：$$\frac{1}{2-x^2} = \frac{1}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}$$然后，可以利用部分分式分解的方法将分式拆分成简单的形式，即：$$\frac{1}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})} = \frac{A}{x+\sqrt{2}} + \frac{B}{x-\sqrt{2}}$$其中 $A, B$ 是待求系数。通过通分，得到：$$1 = A(x-\sqrt{2}) + B(x+\sqrt{2})$$将 $x$ 分别取 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$，得到：$$\begin{cases}A(\sqrt{2}\sqrt{2})+B(\sqrt{2}+\sqrt{2})=1\A(\sqrt{2}+\sqrt{2})+B(\sqrt{2}\sqrt{2})=1\end{cases}$$化简得到：$2B\sqrt{2} = 2$，即 $B = \frac{1}{\sqrt{2}}$；同理，可得 $A = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。因此，原函数为：$$\begin{aligned}\int \frac{1}{2-x^2}dx &= \int \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x+\sqrt{2}}dx + \int \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\sqrt{2}}dx \ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln{|x+\sqrt{2}|} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln{|x-\sqrt{2}|} + C\end{aligned}$$其中，$C$ 为积分常数。

答：原函数(primitive function)是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx。则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数例:sinx是cosx的原函数。原函数存在定理若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为"原函数存在定理"。函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个.例如，x是3x的一个原函数，易知，x+1和x+2也都是3x的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。