Question

a的秩和a的逆的秩的关系

Answer 1

秩是一个矩阵的一个基本性质，表示这个矩阵的列空间的维数，也等价于行空间的维数。矩阵的秩是一个很重要的性质，因为它决定了矩阵能够表示出的线性空间的维数和性质。逆矩阵是一个方阵才有的性质，如果矩阵A是一个方阵，且存在矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵A就是可逆的，B就是A的逆矩阵，满足条件A·B=B·A=I。
对于一个n阶矩阵A，它的秩r(A)是表示矩阵A的列向量中所能线性组合生成的列空间的维数，也可以表示矩阵A的行向量所能线性组合生成的行空间的维数。除此之外，r(A)还表示A的最大线性无关列数和最大线性无关行数，这个性质非常重要。如果矩阵A是非奇异的（满秩），那么矩阵的秩r(A)等于矩阵的阶数n，如果矩阵不是非奇异的（不满秩），那么矩阵的秩r(A)小于矩阵的阶数n。
同样的，逆矩阵也是一个很重要的性质，它只存在于一个方阵A，并且它的秩必须满足条件r(A)=n，即A为非奇异矩阵，这时候我们才可以去推导它的逆矩阵。如果一个矩阵A有逆矩阵，则A的行列式必须不为零，也就是其行列式det(A)不等于0。
因为矩阵A的列空间和行空间的维数是相等的，所以它的行秩和列秩也是相等的，也就是说，r(A)=r(A^T)，其中A^T表示将A矩阵转置后得到的矩阵。根据矩阵的行列式性质，我们知道对于任何矩阵A都有，det(A·A^-1)=det(I)=1，其中A^-1是A的逆矩阵。在这个式子中，我们可以将A·A^-1改写成A^T·A^-1，即det(A^T·A^-1)=1。
综上所述，矩阵A的秩和它的逆矩阵A^-1的秩之间存在如下关系：r(A) = r(A^T) = r(A·A^-1) ≤ min{r(A)， r(A^-1)}，其中等号成立当且仅当A是一个非奇异矩阵。因此，当矩阵A存在逆矩阵且A是非奇异矩阵时，它的秩和它的逆矩阵的秩相等，都等于矩阵A的阶数n。