Question

3.二阶非齐次线性微分方程的通解y"++y`-2x^2e^x

Answer 1

问：3.二阶非齐次线性微分方程的通解y"++y`-2x^2e^x

答：您好，亲亲！很高兴为您效劳呢！据我了解，首先，我们考虑对应的齐次线性微分方程的解，即：y'' + y' = 0这个齐次线性微分方程的特征方程是：r^2 + r = 0解出特征根r1 = 0和r2 = -1，因此齐次线性微分方程的通解是：y_h = c1 + c2*e^(-x)接下来，我们考虑非齐次线性微分方程。首先，我们猜测它的特解形式为：y_p = Ax^2*e^x将特解代入原方程，得到：y_p'' + y_p' = 2x^2e^x将特解代入左边，得到：y_p'' = 2Ax^2e^x + 4Ax^e^x + 2Ae^xy_p' = 2Ax^2e^x + 2Axe^x + Axe^x将特解和它们的导数代入右边，得到：2Ax^2e^x + 2Axe^x + Axe^x + 2Ax^2e^x - 2x^2e^x = 2x^2e^x化简，得到：4Ax^2e^x + 2Axe^x = 0因为x不等于0，所以A=0，因此我们没有取到非零特解。因此，这个非齐次线性微分方程的通解是：y = y_h + y_p = c1 + c2*e^(-x)

答：您好，亲亲！很高兴为您效劳呢！据我了解，16. $\int_0^{\frac{\pi}{8}} \tan^2 x dx$ 我们可以发现 $\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$，变形得到 $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$。将 $\tan^2 x$ 处理成剩余项的形式，然后利用定积分的线性性质，分别计算 $\frac{1}{\cos^2 x}$ 和 $1$ 的积分即可。$\int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{\cos^2 x} - 1 dx = \left[ \tan x - x \right]_0^{\frac{\pi}{8}} = \tan \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8}$。答案为：$\tan \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8}$。17. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin x) dx$直接使用定积分的线性性质分别计算：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[ x - \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$。答案为：$1$。19. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2x-\ln x}{x^2} dx$首先考虑原函数，设 $u = \ln x$，则 $x = e^u$，原函数变形为：$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2e^u - u}{e^{2u}} du = 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u} du - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u}{e^{2u}} du$$唯一有限的一项是 $2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u} du = 2$，所以我们只需考虑第二项。考虑使用分部积分法，令 $u = \frac{1}{2}u^2$，$dv = e^{-2u} du$，则有：$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{u}{e^{2u}} du = \int_{-\infty}^{\infty} u d (-\frac{1}{2}e^{-2u}) = e^{-2u} (-\frac{1}{2}u) \Big|_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2u} du = \frac{1}{2}$$综上所述，原积分为 $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。答案为 $\_D xy dxdy$，其中 $D$ 为直线 $y=x$ 和 $y=2$，以及 $x=1$ 所围成的区域。通过画图可以知道这个区域是一个梯形，高为 $2-1=1$，底边长为 $2-1=1$，顶边长为 $2-2=0$。因此积分为：$$\int_1^2 \int_x^2 xy dydx = \int_1^2 (\frac{1}{2}y^2 x) \Big|_x^2 dx = \int_1^2 (2x-x^3) dx = \frac{3}{4}$$答案为 $\frac{3}{4}$。21. $\iint_D e^{x^2+y^2} dxdy$，其中 $D = \{(x,y)|1\leq (x^2+y^2) \leq 9\}$。这个积分可以利用极坐标来求解。极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，所以积分变成了：$$\iint_D e^{x^2+y^2} dxdy = \int_{r=1}^3 \int_{\theta=0}^{2\pi} e^{r^2} r d\theta dr$$$\theta$ 对积分没有贡献，可以直接积分，因此原积分可以转化为：$$2\pi \int_{r=1}^3 re^{r^2} dr = \pi (e^9-1)$$答案为 $\pi (e^9-1)$。22. $y''-6y'+8y=3xe^x$，求通解。首先求该齐次方程的通解：$y''-6y'+8y=0$，其特征方程为：$$r^2 - 6r + 8 = 0$$解得 $r_1 = 2$，$r_2 = 4$。因此，齐次方程的通解为：$y_h = c_1e^{2x} + c_2e^{4x}$数变易法，设特解形式为 $y_p = Axe^x$，代入原方程解得：$$A = \frac{1}{10}$$因此，非齐次方程的一个特解为 $y_p = \frac{1}{10}xe^x$。最终通解为 $y = y_h + y_p = c_1e^{2x} + c_2e^{4x} + \frac{1}{10}xe^x$。23. 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域和和函数。设 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，则：$$f'(x) = \sum_{$$由于级数在 $x=0$ 处发散，因此可以令 $C=0$，得到：$$f(x) = -\ln (1-x)$$收敛域为 $(-1,1]$。答案为：收敛域为 $(-1,1]$，和函数为 $-\ln (1-x)$。