一道高中数学解析几何题

已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型(2)当k=2时,... 已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型
(2)当k=2时,求|2向量AP+向量BP|的最大,最小值
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搜宝小朋友
2010-08-06 · TA获得超过759个赞
知道答主
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为了方便明了,向量符号均省略。
解:(1)由A(0,1),B(0,-1),C(1,0),设P(x,y)
则向量OP(x,y);
AP(x-1,y);
BP(x+1,y);
PC(1-x,-y);
由AP*BP=k|PC|^2,代入得:
(x+1)(x-1)+y^2=k[(1-x)^2+(-y)^2];
解得:k=1;x=1;
代入得P(1,y)
即所求点P轨迹为直线x=1;

(2)由(1)中AP(x-1,y);BP(x+1,y);
代入|2AP+BP|得:
|2AP+BP|=|(3x-1,3y)|=[(3x-1)^2+9y^2]^(1/2)
由k=2时,代入(1)中的AP*BP=k|PC|^2,得:
(x-2)^2+y^2=1;
将其代进上式得:
|2AP+BP|=(30x-26)^(1/2)
由于(x-2)^2+y^2=1;几何意义为圆心为(2,0),半径R=1的圆,则其x的取值范围为[1,3];

分别将x=1和x=3代进|2AP+BP|=(30x-26)^(1/2),得:
max=8;
min=2;
得解。
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