函数f(x)=8+2x-x*2,g(x)=f(2-x*2)求g(x)的单调区间。怎么解?
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教你一个牛逼一点的公理,好像想在的教科书也没有的。
复合函数的规律:同增异减,即复合函数的子函数同为增函数或减函数,则原函数为增函数,两个子函数是一增一减,则整条函数为减函数。
以你的题目为例:设D(x)=2-x^6,f(x)=-(x-1)^2+9,∵D(x)在(-∞,0)为增函数,[0,+∞)为减函数。f(x)在(-∞,1)为增函数,[1,+∞)为减函数。根据上面的公理。在(-∞,0),[1,+∞)两函数同增跟同减。所以就有在g(x)在(-∞,0),[1,+∞)单调递增,而在[0,1)两函数一增一减, g(x)单调递减
复合函数的规律:同增异减,即复合函数的子函数同为增函数或减函数,则原函数为增函数,两个子函数是一增一减,则整条函数为减函数。
以你的题目为例:设D(x)=2-x^6,f(x)=-(x-1)^2+9,∵D(x)在(-∞,0)为增函数,[0,+∞)为减函数。f(x)在(-∞,1)为增函数,[1,+∞)为减函数。根据上面的公理。在(-∞,0),[1,+∞)两函数同增跟同减。所以就有在g(x)在(-∞,0),[1,+∞)单调递增,而在[0,1)两函数一增一减, g(x)单调递减
2012-07-27
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方法一:
令t=2-x^2 ,g(x)=f(t)
F(t)在区间[- ,1]单调递增,在区间[1, ]单调递减,
当t<1时,即2-x^2<1,解得x<-1或x>1。
因t<1时,f(t) 单调增,(i)x<-1时,t=2-x^2单调增,所以在x<-1时,g(x)单调增;
(ii)x>1时,t=2-x^2单调减,所以在x>1时,g(x)单调减。
因t>1时,f(t) 单调减,(i)0>x>-1时,t=2-x^2单调增,所以在0>x>-1时,g(x)单调减;
(ii)0<x<2-x^21时,t=2-x^2单调减,所以在0<x<1时,g(x)单调增。
综上所述,在区间[- ,-1],[0,1]单调增,在区间[1, ],[-1,0]单调减。
方法二:
g(x)=f(2-x^2)=8+2(2-x^2)+(2-x^2)^2=8+2x^2-x^4,求导,根据导函数的符号,判断原函数的单调性。
令t=2-x^2 ,g(x)=f(t)
F(t)在区间[- ,1]单调递增,在区间[1, ]单调递减,
当t<1时,即2-x^2<1,解得x<-1或x>1。
因t<1时,f(t) 单调增,(i)x<-1时,t=2-x^2单调增,所以在x<-1时,g(x)单调增;
(ii)x>1时,t=2-x^2单调减,所以在x>1时,g(x)单调减。
因t>1时,f(t) 单调减,(i)0>x>-1时,t=2-x^2单调增,所以在0>x>-1时,g(x)单调减;
(ii)0<x<2-x^21时,t=2-x^2单调减,所以在0<x<1时,g(x)单调增。
综上所述,在区间[- ,-1],[0,1]单调增,在区间[1, ],[-1,0]单调减。
方法二:
g(x)=f(2-x^2)=8+2(2-x^2)+(2-x^2)^2=8+2x^2-x^4,求导,根据导函数的符号,判断原函数的单调性。
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