Question

不等式难题

求最小实数m，使对于满足a+b+c=1的任意正实数a，b，c都有
m(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b^2+c^2)+1

请大侠们速答

Answer 1

最小实数m=27,

令a=b=c=1/3得,m>=27,

当m=27时,我们来证明，
27(a^3+b^3+c^3)>=6(a^2+b^2+c^2)+1 (1)

3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)=3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=
(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2>=0
而3(a^2+b^2+c^2)-1=3(a^2+b^2+c^2)-（a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0.

所以9(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2+b^2+c^2)>=1.
即可证明(1)了。

Answer 2

问题可化为:当a,b,c＞0,且a+b+c=1时，求式子S=[6(a²+b²+c²)+1]/(a³+b³+c³)的最大值。（1）3(a³+b³+c³)-(a²+b²+c²)=3(a³+b³+c³)-(a²+b²+c²)(a+b+c)=2(a³+b³+c³)-(a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²)=[(a³+b³)-(a²b+ab²)]+[(b³+c³)-(b²c+bc²)]+[(c³+a³)-(c²a+a²c)]=[(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)]+[(b+c)(b²-bc+c²)-bc(b+c)]+[(c+a)(c²-ca+a²)-ca(c+a)]=(a+b)(a-b)²+(b+c)(b-c)²+(c+a)(c-a)²≥0,等号仅当a=b=c=1/3时取得。故3(a³+b³+c³)≥(a²+b²+c²)＞0.===>3/(a²+b²+c²)≥1/(a³+b³+c³).此时易知，式子S满足：S≤3[6(a²+b²+c²)+1]/(a²+b²+c²)=18+[3/(a²+b²+c²)].即S≤18+[3/(a²+b²+c²)].(2)易知，(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0,等号仅当a=b=c=1/3时取得。又(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2(a²+b²+c²)-(2ab+2bc+2ca)=2(a²+b²+c²)-[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]=3(a²+b²+c²)-1.故3(a²+b²+c²)-1≥0.==>1/(a²+b²+c²)≤3.===>3/(a²+b²+c²)≤9,故式子S≤18+9=27.等号仅当a=b=c=1/3时取得，故Smax=27.由题设可知，m的最小值为27。