Question

若V1、V2、V3是V的子空间，且V1∩V2=｛0｝，V2∩V3=｛0｝，V1∩V3=｛0｝，问V1+V2+V3是否为直和

Answer 1

问：若V1、V2、V3是V的子空间，且V1∩V2=｛0｝，V2∩V3=｛0｝，V1∩V3=｛0｝，问V1+V2+V3是否为直和

答：同学，很高兴由我来给你解答这个问题： 是直和。先证（V1+V2）∩V3=空集，再用两次维数公式 dim(V1+V2+V3)=dim(V1+V2)+dimV3－dim((V1+V2)∩V3）=dim(V1+V2)+dimV3，同理dim(V1+V2)=dimV1+dimV2；即可证明dim(V1+V2+V3)=dimV1+dimV2+dimV3，这是V1+V2+V3为直和的充要条件，即证。 设V1和V2是V的两个子空间，n(V)表示V的维数，则有公式n(V1)+n(V2)=n(V)-n(V1∩V2)，如果这两个子空间之交的维数等于0，即n(V1∩V2)=0，有n(V1)+n(V2)=n(V)，就是说子空间的维数之和等于V的维数，这样的子空间之和就是直和。 例如三维欧式空间V中，取过原点的一直线记为V1，再取过原点且垂直于该直线的平面记为V2，则V1和V2的和即为直和，结果就等于V。

问：为什么（V1+V2）∩V3=空集

答：V=V1+V2,V1∩V2=φ(空集