Question

(sinx+cosx)cosx^2的不定积分

Answer 1

问：(sinx+cosx)cosx^2的不定积分

答：可以使用代换法来求解该不定积分：令 u = cosx，那么 du/dx = -sinx dx将其代入原式中，得到：∫ (sinx+cosx)cosx^2 dx = ∫ (sinx+u)u^2 (-du) = -∫ (u^3 sinx + u^2 cosx) du再次利用代换法，令 v = u^2，那么 dv/dx = 2u du/dx = -2u sinx dx将其代入上式中，得到：-∫ (u^3 sinx + u^2 cosx) du = -∫ (v^(3/2)/2 sinx + v cosx/2) dv对该式进行积分，得到：-∫ (v^(3/2)/2 sinx + v cosx/2) dv = -2/5 v^(5/2) cosx - v^2/4 + C其中，C为积分常数。将 v = u^2 = cos^2(x) 代回原式，得到：∫ (sinx+cosx)cosx^2 dx = -2/5 cos^5(x) - 1/4 cos^4(x) + C因此，原式的不定积分为：-2/5 cos^5(x) - 1/4 cos^4(x) + C。