Question

10.设A和B均为4阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解, R(B)=2, 则 R(AB)=__-

Answer 1

问：10.设A和B均为4阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解, R(B)=2, 则 R(AB)= __-

答：亲，很高兴为您解答，.设A和B均为4阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解, R(B)=2, 则 R(AB)= __-：由于 R(B)=2，所以 B 的列空间的维数为 2，也就是说，B 的列向量组是线性无关的，即任意 2 个列向量线性无关。又由于 Ax=0 仅有零解，所以 A 的列向量组是线性无关的。那么 AB 的列向量组中的任意两个向量都可以表示为 B 的列向量组中的线性组合，而 B 的列向量组中的任意一个向量都可以表示为 A 的列向量组中的线性组合。因此，AB 的列向量组中的任意两个向量都可以表示为 A 的列向量组中的线性组合，即 AB 的列向量组是线性相关的。所以，R(AB)<4，也就是 R(AB) 最大只能是 3。综上所述，R(AB)\leq 3。又因为 AB 是 4 阶方阵，所以 R(AB)\geq 4-R(B)=2。因此，2\leq R(AB)\leq 3。所以，R(AB)=2 或 R(AB)=3。

问：怎么判断线性无关和线性相关？

答：线性无关和线性相关是矢量空间中常用的概念。给定一组向量，可以通过线性组合来得到新的向量，即将向量乘以常数后相加。如果存在一组常数使得线性组合为零向量，那么这些向量就是线性相关的，否则就是线性无关的。具体来说，假设有向量组 v_1, v_2, ..., v_n，则：1.若存在不全为0的实数 k_1,k_2,...,k_n，使得 k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0，则向量组 v_1, v_2, ..., v_n 是线性相关的。2.3.若对于任意不全为0的实数 k_1,k_2,...,k_n，都有 k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n\neq0，则向量组 v_1, v_2, ..., v_n 是线性无关的。4.在判断线性无关和线性相关时，一般采用高斯消元法将向量组转化为阶梯形矩阵或行最简矩阵，再根据矩阵的秩来判断。如果阶梯形矩阵或行最简矩阵的非零行数等于向量的个数，那么向量组就是线性无关的，否则就是线性相关的。需要注意的是，判断线性无关和线性相关的结果与向量组的顺序有关，即对同一组向量，不同的排列顺序可能会导致不同的结果。综上所述，R(AB)\leq 3。又因为 AB 是 4 阶方阵，所以 R(AB)\geq 4-R(B)=2。因此，2\leq R(AB)\leq 3。所以，R(AB)=2 或 R(AB)=3。

问：这选择题答案里只能选一，选2或选3呢？

答：3哦

问：我还是搞不懂

答：看上面就可以看的懂了哦

答：老师这边用文字给你表达了