Question

5、设U,W是线性空间V的两个子空间，且U∈W。证明:若R是U的 补空间，即V= UφR,则W=Uφ (R∩W)。

Answer 1

问：5、设U,W是线性空间V的两个子空间，且U∈W。证明:若R是U的 补空间，即V= UφR,则W= Uφ (R∩W)。

答：为了证明 W = U ⊕ (R ∩ W)，需要证明两个方向的子空间分解。（1）W 包含 U ⊕ (R ∩ W)对任意 w ∈ W，我们可以将其分解成两个部分：w = u + r其中 u ∈ U，r ∈ R。因为 V = U ⊕ R，所以这个分解是唯一的。我们需要证明 r ∈ R ∩ W，即 r ∈ R 并且 r ∈ W。对于 r ∈ R，因为 R 是 U 的补空间，满足 R ∩ U = {0}，所以 r = v + u，其中 v ∈ R，u ∈ U，且 u 和 v 线性无关。因为 u ∈ U，所以 u ∈ W。因为 W 是 V 的子空间，所以 r = (r - u) + u ∈ W。因此，r ∈ R ∩ W。于是，我们得到了 w = u + r，其中 u ∈ U，r ∈ R ∩ W。因此，W 包含 U ⊕ (R ∩ W)。（2）U ⊕ (R ∩ W) 包含 W对任意 w ∈ W，因为 U ∈ W，所以 w = u + v，其中 u ∈ U，v ∈ V。因为 V = U ⊕ R，所以 v = r + s，其中 r ∈ R，s ∈ U。于是 w = u + r + s，其中 u ∈ U，r ∈ R，s ∈ U。因为 R 和 U 的线性组合还是在 R 和 U 中，所以 r + s ∈ R ∩ U = {0}。因此 w = u + r + s = u + r，其中 u ∈ U，r ∈ R。因此，w ∈ U ⊕ (R ∩ W)。因此，我们得到了 U ⊕ (R ∩ W) 包含 W。综上所述，我们证明了 W = U ⊕ (R ∩ W)。

问：可以用基底法证明嘛

答：设V的基底为B={v1, v2, ..., vn}，且U的基底为B1={u1, u2, ..., um}。由于U是W的子空间，所以W中的任意向量都可以表示为U中向量的线性组合。也就是说，对于任意w∈W，存在k1, k2, ..., km∈F，使得w = k1u1 + k2u2 + ... + kmum。由于V=UφR，所以V中的任意向量都可以表示为一个u∈U和一个r∈R的和。因此，对于任意w∈W，存在u∈U和r∈R，使得w = u + r。由于U是V的子空间，所以u可以写成U的基底B1的线性组合。因此，存在a1, a2, ..., am∈F，使得u = a1u1 + a2u2 + ... + amum。将u的表达式代入w的表达式中，得到w = a1u1 + a2u2 + ... + amum + r。因此，w属于Uφ(R∩W)，当且仅当r∈R∩W。也就是说，要证明W=Uφ(R∩W)，只需要证明对任意r∈R∩W，都有r = k1u1 + k2u2 + ... + kmum其中k1, k2, ..., km∈F。设R的基底为B2={r1, r2, ..., rn-m}，则B1∪B2是V的一个基底。根据这个基底，可以写出r的表达式：r = b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1r1 + c2r2 + ... + cn-mrn-m其中b1, b2, ..., bm, c1, c2, ..., cn-m∈F。

答：因为r∈R，所以c1r1 + c2r2 + ... + cn-mrn-m∈R。而因为r∈W，所以c1r1 + c2r2 + ... + cn-mrn-m∈W。因此，c1r1 + c2r2 + ... + cn-mrn-m∈R∩W。因为V=UφR，所以任意v∈V都可以写成v=u+r的形式，其中u∈U，r∈R。因此，将c1r1 + c2r2 + ... + cn-mrn-m分解成u和r的和，得到c1r1 + c2r2 + ... + cn-mrn-m = d1u1 + d2u2 + ... + dmum + e1r1 + e2r2 + ... + en-mrn-m其中d1, d2, ..., dm, e1, e2, ..., en-m∈F。将上式代入r的表达式中，得到r = (b1+d1)u1 + (b2+d2)u2 + ... + (bm+dm)um + (e1-1)r1 + (e2-1)r2 + ... + (en-m-1)rn-m因此，r可以被表示为u1, u2, ..., um的线性组合。因此，r∈U。而因为r属于R的补空间，所以r∈R∩W。因此，对于任意r∈R∩W，r可以表示为u1, u2, ..., um的线性组合。也就是说，W=Uφ(R∩W)。证毕。

问：谢谢

问：这一步是为什么呢

答：这个式子意味着：任意在 R 中的向量 r 可以表示为一个在 R 中的向量 v 和一个在 U 中的向量 u 的和。在这个分解中，v 和 u 是线性无关的，即不能表示成彼此的线性组合。U 是 R 的补空间，因此 r 和任何在 U 中的向量 u 的点积为 0，即它们在空间中互相垂直或正交。这个分解式对于线性代数中的许多应用非常重要，例如在矩阵分解和最小二乘法中。

问：第二小题肿么写

答：能转为文字吗，我这边有点看不清。