证明:(1)(a±b,b)=(a,b) (2)若(a,b)=1,则(a+b,2a)=(a+b,2).
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(1) 首先,根据向量的内积运算,有:亲,你好!为您找寻的答案:(a±b, b) = a·b ± b·b因此,我们只需要证明 a·b ± b·b = (a,b) 即可。(a±b, b) = a·b ± b·b= (a·b + b·b) ± b·b= (a+ b)·b ± b·b= (a,b) + b·b ± b·b= (a,b)因此,证毕。(2) 首先将(a+b,2a)表示成(a+b,2a)=(a+b,a+3a)=(a+b,a)=(a,b)+(b,a)=(a,b)+ (a,a)=(a,b)+a^2同时将(a+b,2)表示成(a+b,2)=(a,2)+(b,2)=a^2+b^2+2因为(a,b)=1,所以(a,b)+(a,b)=2(a,b)=2k(k为整数)代入前面的式子,得到:(a+b,2a)=(a,b)+a^2+k+k因此,我们只需要证明 a^2+k+k=a^2+b^2+2 即可。又因为(a,b)=1,所以a和b互质,因此a和b的奇偶性不同。如果a是奇数,则b是偶数,所以b^2是4的倍数;如果a是偶数,则a^2是4的倍数。因此,a^2+b^2一定是4的倍数,而k+k=2k一定是偶数,所以a^2+k+k和a^2+b^2+2一定是同奇偶性的。因此,我们只需要证明它们是相等的,即可完成证明。我们将a表示成2m或2m+1,其中m为整数。代入a^2+k+k=a^2+b^2+2中,得到:a^2+k+k=a^2+b^2+2(2m)^2+k+k=(2m)^2+b^2+24m^2+2k=4m^2+b^2+2k+k=b^2因此,证毕。
咨询记录 · 回答于2023-06-23
(2)若(a,b)=1,则(a+b,2a)=(a+b,2).
证明:(1)(a±b,b)=(a,b)
证明:(1)(a±b,b)=(a,b)
(2)若(a,b)=1,则(a+b,2a)=(a+b,2).
证明:(1)(a±b,b)=(a,b)