Question

关于线性代数的几个问题

1.什么叫实对称矩阵？
2.何时需要正交化？
3.同一个特征值的特征向量是否线性相关？

Answer 1

1.实对称矩阵满足两个条件，首先她是一个实矩阵，也就是说矩阵中的每一个数都是实数。其次她是对称矩阵，满足A=A'，这个矩阵关于主对角线对称。
2.任意的一个线性无关的向量组通过正交化可以的到一个正交向量组，通常在求标准正交基的时候，或找正交矩阵的时候会用到。对n个线性无关的向量进行正交化后再单位化可以得到一个正交向量组，将这些向量竖着写（横着也无所谓）就可以得到一个正交矩阵。也就是说一个可逆阵将其每一列都正交化单位化可得到一个正交矩阵，换个角度说，将n维欧氏空间的任意一组基进行正交化单位话后可以得到一个标准正交基，所以正交化和单位化在欧式空间中应用是很广泛的！！（值得注意的是他们的顺序问题，一定要先正交化再单位化）
3.这个问题需要分什么情况了，一句话说就是不一定线性相关，我们知道每一个特征值都对应无数特征向量，这些特征向量可以求他们的极大线性无关组，求出来的极大线性无关组的个数当然不一定是一个。不知道我说明白了没有，如果还不太明白你可以继续提问，我可以再说的详细一点！！

Answer 2

1。转置不变，而且矩阵里的各个数是实数
2。正交化是对向量组而言的，线性代数书本里有关于向量组正交化的方法，即：施密特正交化。但是有一点，实对称矩阵一定可以对角化，方法是先求得对称矩阵的特征值及对应的特征向量，得到正交矩阵，然后经过相似变换（合同变换）对角化。具体方法见线性代数（同济大学版）第127页
3。一个特征响亮乘以一个常数都是原来特征值的特征向量，它们肯定线性相关。但是实对称矩阵的一个k重特征值刚好对应有k个线性无关的特征向量。

！！！！兄台，我尽力了，自己看看书，慢慢就会懂的！

Answer 3

1. 一个矩阵的转置和自己相等的矩阵就是对称矩阵，实对称矩阵是元素全是实数的对称矩阵。
2.在矩阵的对角化当中,如果要求求一个正交矩阵的时候要正交化,在二次型当中,如果要求一个变量的正交变换时,就要正交化.
3.同一个特征值的特征向量不一定线性相关.