用概率密度求分布函数例题
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概率密度函数是描述随机变量分布的函数,通过概率密度函数可以计算出随机变量落在某个区间内的概率。而分布函数则是用来描述随机变量落在某个区间及以下的概率。下面通过一个例题来演示如何用概率密度函数求分布函数。
咨询记录 · 回答于2023-06-20
用概率密度求分布函数例题
概率密度函数是描述随机变量分布的函数,通过概率密度函数可以计算出随机变量落在某个区间内的概率。而分布函数则是用来描述随机变量落在某个区间及以下的概率。下面通过一个例题来演示如何用概率密度函数求分布函数。
假设有一台机器每小时生产的产品数服从均值为10,标准差为2的正态分布。我们想要求出在一小时内机器生产的产品数小于等于8的概率。首先,我们需要根据正态分布的公式求出概率密度函数。正态分布的概率密度函数公式为:$$ f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$其中,$x$为随机变量,$\\mu$为均值,$\\sigma$为标准差。代入题目中的数据,我们得到该机器每小时生产的产品数的概率密度函数为:$$ f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\times2^2}}e^{-\\frac{(x-10)^2}{2\\times2^2}} $$接下来,我们需要求出在一小时内机器生产的产品数小于等于8的概率,即:$$ P(X \\leq 8) $$为了求得该概率,我们需要先求出分布函数$F(x)$,即:$$ F(x) = P(X \\leq x) $$将$F(x)$带入上式,我们得到:$$ P(X \\leq 8) = F(8) $$。
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