Question

用概率密度求分布函数例题

Answer 1

问：用概率密度求分布函数例题

答：概率密度函数是描述随机变量分布的函数，通过概率密度函数可以计算出随机变量落在某个区间内的概率。而分布函数则是用来描述随机变量落在某个区间及以下的概率。下面通过一个例题来演示如何用概率密度函数求分布函数。

答：假设有一台机器每小时生产的产品数服从均值为10，标准差为2的正态分布。我们想要求出在一小时内机器生产的产品数小于等于8的概率。首先，我们需要根据正态分布的公式求出概率密度函数。正态分布的概率密度函数公式为：$$ f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$其中，$x$为随机变量，$\\mu$为均值，$\\sigma$为标准差。代入题目中的数据，我们得到该机器每小时生产的产品数的概率密度函数为：$$ f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\times2^2}}e^{-\\frac{(x-10)^2}{2\\times2^2}} $$接下来，我们需要求出在一小时内机器生产的产品数小于等于8的概率，即：$$ P(X \\leq 8) $$为了求得该概率，我们需要先求出分布函数$F(x)$，即：$$ F(x) = P(X \\leq x) $$将$F(x)$带入上式，我们得到：$$ P(X \\leq 8) = F(8) $$。