Question

解关于x的不等式 x^2-ax+1>0.

Answer 1

问：解关于x的不等式 x^2-ax+1>0.

答：要解这个不等式，我们需要考虑二次函数的图像和一元二次方程的根。首先，写出不等式：x² - ax + 1 > 0。对于二次函数 y = x² - ax + 1，它的图像是一个开口向上的抛物线，因为系数 a 的值未知，我们暂时无法确定它的开口方向。我们来考虑一元二次方程 x² - ax + 1 = 0 的根。根可以通过求解二次方程的判别式来确定：判别式 Δ = b² - 4ac，其中 a = 1，b = -a，c = 1。将这些值代入判别式中，得到 Δ = (-a)² - 4(1)(1) = a² - 4。我们对不等式 x² - ax + 1 > 0 进行讨论：1. 当 a² - 4 > 0 时，即 a² > 4 时，判别式大于零，表明一元二次方程有两个不相等的实根。这时抛物线与 x 轴有两个交点，在两个交点之间的 x 区间上，不等式 x² - ax + 1 > 0 成立。2. 当 a² - 4 = 0 时，即 a² = 4 时，判别式等于零，表明一元二次方程有且仅有一个实根。这时抛物线与 x 轴只有一个交点，此时不等式 x² - ax + 1 > 0 不成立，因为不存在一个 x 值使得 x² - ax + 1 = 0。3. 当 a² - 4 < 0 时，即 a² 4 时，判别式小于零，表明一元二次方程无实根。这时抛物线与 x 轴没有交点，此时不等式 x² - ax + 1 > 0 一直成立，即对于任意 x 都存在 x² - ax + 1 > 0。综上所述，不等式 x² - ax + 1 > 0 的解为：1. 当 a² > 4 时，解为 x 属于实数集。2. 当 a² < 4 时，解为整个实数集。注意，当 a² = 4 时，不等式没有解。