Question

如何理解用 Gauss 消元法解线性方程组的正确性(从矩阵乘法、线性方程组的“生成”两方面来描述)

Answer 1

问：如何理解用 Gauss 消元法解线性方程组的正确性(从矩阵乘法、线性方程组的“生成”两方面来描述)

答：Gauss 消元法是一种求解线性方程组的方法，它的基本思想是通过消元变换，将原方程组化为行简化阶梯形矩阵形式，从而方便求解方程组的解。其正确性可以从矩阵乘法和线性方程组的“生成”两个角度来理解。从矩阵乘法的角度来理解，Gauss 消元法的核心是矩阵的初等行变换，包括将一行乘以一个非零常数、将一行加上另一行的若干倍、交换两行等操作。这些操作可以通过左乘一个特定的矩阵，也就是初等矩阵，来实现。初等矩阵的特点是它是一个对角线上只有一个非零元素的矩阵，因此它的逆矩阵也很容易求得，从而我们可以通过对方程组的增广矩阵左乘一系列的初等矩阵，将其化为行简化阶梯形矩阵的形式。而由于初等矩阵可逆，这些变换操作不会改变方程组的解，因此原方程组和简化后的方程组具有相同的解。从线性方程组的“生成”角度来理解，Gauss 消元法实际上是在不断更新方程组的系数矩阵和常数向量，使得它们逐步趋近于一个更简单的形式，直到化为行简化阶梯形式为止。这个简单的形式实际上是原方程组所生成的线性空间的基底，因此可以直接求解解析解。通过对系数矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个与原方程组等价的新方程组，它所对应的线性空间与原方程组生成的线性空间是相同的，因此它们具有相同的基底和解集。而在行简化阶梯形式下，我们可以方便地求解出该线性空间的基底和解，因此也就求得了原方程组的解。综上所述，Gauss 消元法的正确性可以从矩阵乘法和线性方程组的“生成”两个角度来解

答：释，它通过初等矩阵的左乘操作和系数矩阵的初等行变换操作，将方程组的系数矩阵和常数向量逐步化为简化的行阶梯形式，从而求得方程组的解。