Question

(3x²+1)(X-2/X)五次方展开式中x的系数

Answer 1

问：(3x²+1)(X-2/X)五次方展开式中x的系数

答：你好、我们可以先将两个因式进行乘法：(3x² + 1) * (x - 2/x)⁵= 3x²(x - 2/x)⁵ + (x - 2/x)⁵接下来，我们需要将展开式中所有含有x的项找出来，并计算它们的系数。首先，考虑3x²(x - 2/x)⁵中所有含有x的项，它们分别为：3x²(x⁵) = 3x⁷- 3x²(2/x)(x⁴) = -6x⁵因此，这个部分中所有含有x的项的系数为 3 - 6 = -3。接下来，考虑(x - 2/x)⁵中所有含有x的项，根据二项式定理，我们可以用组合数的形式来表示展开式中每一项的系数。具体来说，第k个项的系数为：C(5, k) * x^(5-k) * (-2/x)^k其中，C(5, k)表示从5个元素中选择k个元素的组合数。由于题目要求的是展开式中所有含有x的项的系数之和，因此我们只需要将k从1到5的所有项系数相加即可。具体来说，我们可以使用下面的公式来计算：系数之和 = Σ[k=1, 5] C(5, k) * x^(5-k) * (-2)^k将k从1到5代入上式计算，可以得到：系数之和 = -5x⁴ - 30x² - 80/3 - 30x⁻² - 5x⁻⁴最后，将这个系数之和 (-5x⁴ - 30x² - 80/3 - 30x⁻² - 5x⁻⁴) 加上前面那个部分中所有含有x的项的系数 (-3)，即可得到展开式中所有含有x的项的系数之和：-3 - 5x⁴ - 30x² - 80/3 - 30x⁻² - 5x⁻⁴因此，展开式中x的系数为 -30。

问：13题

答：你好，你这边能用文字表达给我吗，以便更好的帮你解释问题

答：同学您好，老师这边收到您的问题，您这边可以再描述清楚一些吗？以便于老师更好的帮助您！

问：（3x平方+1）（x-2/x）的五次幂展开式中x的系数

答：我们可以将多项式展开，然后找到$x$的系数。首先将分式部分化简：$$\frac{x-2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$$现在我们可以将多项式展开：$$(3x^2+1)\left(1-\frac{2}{x}\right)^5$$这可以通过二项式定理展开，但是这会很麻烦。相反，我们可以使用二项式定理的另一种形式，即二项式定理的泰勒级数。这个级数是：$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k$$其中，$\binom{n}{k}$ 是组合数。使用这个级数，我们可以将 $(1-\frac{2}{x})^5$ 展开为：$$(1-\frac{2}{x})^5 = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{5}{k} (-1)^k \frac{2^k}{x^k}$$现在我们可以将展开式写为：$$(3x^2+1)\left(1-\frac{2}{x}\right)^5 = (3x^2+1)\sum_{k=0}^{\infty} \binom{5}{k} (-1)^k \frac{2^k}{x^k}$$要找到$x$的系数，我们只需要找到所有项中$x$的次数为 $-1$ 的项。由于我们正在计算五次幂，所以只有来自 $(1-\frac{2}{x})^5$ 中的项 $k=0$ 和 $k=1$ 可能会给出 $x^{-1}$，因为它们是唯一的 $x$ 的幂次为 $-k$，其中 $k \leq 5$。因此，我们只需要计算这两个项，并找到 $3x^2$ 和 $1$ 的系数：\begin{aligned} &\text{系数 } 3x^2 \text{ 的项：} \\&(3x^2) \binom{5}{1} (-1)^1 \frac{2^1}{x^1} = -30x \\&\text{系数为 } -30 \\\\&\text{系数 } 1 \text{ 的项：} \\&1 \binom{5}{0} (-1)^0 \frac{2^0}{x^0} = 1 \\&\text{系数为 } 1 \\\end{aligned}因此，展开式中 $x^{-1}$ 的系数为 $-30 + 1 = -29$。

答：同学你好，你能理解吗？可以参考一下

答：我们可以使用二项式定理来展开这个式子：(3x²+1)(x-2/x)⁵ = (3x²·(x-2/x) + 1·(x-2/x))⁵= ((3x³-6) / x + (x-2)/x)⁵= ((3x³-5) / x)⁵展开后，x的系数为：C(5,0)·(3x³)⁵·(-5/x)⁰ + C(5,1)·(3x³)⁴·(-5/x)¹ + C(5,2)·(3x³)³·(-5/x)² + C(5,3)·(3x³)²·(-5/x)³ + C(5,4)·(3x³)¹·(-5/x)⁴ + C(5,5)·(3x³)⁰·(-5/x)⁵= (3⁵x¹⁵) / x⁵ - 5·3⁴x¹⁰ / x⁴ + 10·3³x⁶ / x³ - 10·3²x² / x² + 5·3x / x - 5= 243x¹⁰ - 405x⁹ + 270x⁵ - 60x + 5因此，x的系数为5。