设函数u=xy^2z^3,其中z=z(x,y)由x^2+y^2+z^2-3xyz=0确定，求u对x的偏导数（1,1,1

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摘要根据链式法则，对于复合函数u(x,y,z)，求其对x的偏导数时，需要分别计算u对z的偏导数和z对x的偏导数，然后将它们相乘，再代入z(x,y)的表达式得到结果。

首先，根据题目中的函数关系式可知：$\frac{\partial u}{\partial z} = 3xy^{2}z^{2}$

其次，根据隐函数定理可得：$\frac{dz}{dx} = \frac{2xyz - 3yz^{2}}{3x^{2} + 3y^{2} - 3yz}$

当$xyz \neq 0$时，代入点$(1,1,1)$可得：$\frac{dz}{dx} = \frac{2111 - 31^{2}}{31^{2} + 31^{2} - 31 \times 1} = -\frac{1}{3}$

因此，将$\frac{\partial u}{\partial z}$和$\frac{dz}{dx}$相乘，并代入z(x,y)的表达式可得：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial z} \times \frac{dz}{dx} = (3xy^{2}z^{2}) \times (-\frac{1}{3}) = -xyz^{2}$

所以，函数u对x的偏导数在点$(1,1,1)$处为-1。

咨询记录 · 回答于2024-01-06

设函数u=xy^2z^3,其中z=z(x,y)由x^2+y^2+z^2-3xyz=0确定，求u对x的偏导数（1,1,1

根据链式法则，对于复合函数u(x, y, z)，求其对x的偏导数时，需要分别计算u对z的偏导数和z对x的偏导数，然后将它们相乘，再代入z(x, y)的表达式得到结果。首先，根据题目中的函数关系式可知：$\frac{\partial u}{\partial z} = 3xy^{2}z^{2}$ 其次，根据隐函数定理可得：$\frac{dz}{dx} = \frac{2xyz - 3yz^{2}}{3x^{2} + 3y^{2} - 3yz}$ 当$xyz \neq 0$时，代入点(1,1,1)可得：$\frac{dz}{dx} = \frac{2111 - 311^{2}}{31^{2} + 31^{2} - 31 \times 1} = -\frac{1}{3}$ 因此，将$\frac{\partial u}{\partial z}$和$\frac{dz}{dx}$相乘，并代入z(x, y)的表达式可得：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial z} \times \frac{dz}{dx} = (3xy^{2}z^{2}) \times (-\frac{1}{3}) = -xyz^{2}$ 所以，函数u对x的偏导数在点(1,1,1)处为-1。