1.已知 f(x)=lnx-ax(a属于R) (1)求f(x)的单调区间;(2)当 a=1 时,方程 f(x)=m有两个相异的实数根x1,x2且x1＜x2，证明x1x2^2＜2

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摘要 (1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明$\dfrac{\ln x_{2}-2}{x_{2}}\langle \dfrac {\ln x_{1}-1}{x_{1}}$,设函数$g(x)=\dfrac{\ln x-2}{x}$,根据函数的单调性证明即可.本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题.解：(1)f'(x)=\dfrac{1}{x}-a=\dfrac{1-ax}{x}(x\rangle 0)当a\le 0时，由于x\rangle 0,得：1-ax\rangle 0 f'(x)\rangle 0所以f(x)的单调递增区间为(0,+\infty )、当a\rangle 0时，令f'(x)=0得x=\dfrac{1}{a},在区间(0,\dfrac{1}{a})上，f'(x)\rangle 0,在区间(\dfrac{1}{a},+\infty )上，f'(x)\langle 0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,\dfrac{1}{a})单调递减区间为(\dfrac{1}{a},+\infty ),综上：当a\le 0时，f(x)的单调递增区间为(0,+\infty ),无单调递减区间；当a\rangle 0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,\dfrac{1}{a}),单调递减区间为(\dfrac{1}{a},+\infty ).(2)当a=1时，方程f(x)=m有两个相异的实根x_{1}x_{2}且x_{1}\langle x_{2}由\ln x_{1}=x_{1}\ln x_{2}=x_{2}要证x_{1}\boldsymbol{\cdot }x_{2}^{2}\langle 2.即证\ln x_{1}+2\ln x_{2}\langle 2只需证明\ln x_{1}x_{2}\langle \ln e^{2}=2,即证x_{1}\boldsymbol{\cdot }x_{2}\langle e^{2}.即证dfrac{\ln x_{2}-\ln x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\

咨询记录 · 回答于2023-05-15

(1)求f(x)的单调区间;(2)当 a=1 时,方程 f(x)=m有两个相异的实数根x1,x2且x1＜x2，证明x1x2^2＜2

1.已知 f(x)=lnx-ax(a属于R)

(1)求f(x)的单调区间;(2)当 a=1 时,方程 f(x)=m有两个相异的实数根x1,x2且x1＜x2，证明x1x2^2＜2

1.已知 f(x)=lnx-ax(a属于R)

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