Question

14.已知实数x,y满足 (x-1)^2+(y-2)^2=2, 则 (3x+2y+7)/(4x+2y+8) 的最小值为

Answer 1

问：14.已知实数x,y满足 (x-1)^2+(y-2)^2=2, 则 (3x+2y+7)/(4x+2y+8) 的最小值为

答：你好，已知实数x,y满足 (x-1)^2+(y-2)^2=2, 则 (3x+2y+7)/(4x+2y+8) 的最小值为1/4 - √2/4。

答：我们考虑将分式化简一下，令 t = 4x + 2y + 8，则原式可以化为：(3x+2y+7)/(4x+2y+8) = (3/4) - (1/2t)我们需要找到 t 的最大值，这样才能使得分式的最小值最大。

答：根据题目中的条件，我们可以将原式中的 x 和 y 表示成 t 的函数，即：x = (t - 2y - 8)/4y = (t - 4x - 8)/2将上述两个式子代入题目中的条件 (x-1)^2+(y-2)^2=2，得到：(t/4 - 5/2)^2 + (t/2 - 7/2)^2 = 9这是一个以点 (5/2, 7/2) 为圆心，半径为 3 的圆。

答：我们可以将圆心平移，令 (t/4, t/2) 为圆心，则圆的方程变为：(t/4)^2 + (t/2 - 1)^2 = 9化简得：t^2 - 16t + 28 = 0解得：t = 2 + 2√2 或 t = 2 - 2√2由于 t 的最大值为 2 + 2√2，因此原式的最小值为：(3/4) - (1/2t) = (3/4) - (1/2(2+2√2)) = 1/4 - √2/4