Question

4.对于有限锥欧式空间v的任意正交变换，A.在V的任意一组基下的矩阵为正交矩阵B.A的实特征值只有1C.A在某一组基下的矩阵为对角形D.以上都错

Answer 1

问：4.对于有限锥欧式空间v的任意正交变换，A.在V的任意一组基下的矩阵为正交矩阵B.A的实特征值只有1C.A在某一组基下的矩阵为对角形D.以上都错

答：亲亲,很高兴为您解答哦答案为A。由于v是有限锥欧式空间，它是一个Euclid空间上的半径有限的尖锥，可以通过放缩变换把它变为标准尖锥，同时保持半径不变。由于是Euclid空间，任意正交变换都可以表示为一个正交矩阵，因此对于有限锥欧式空间v的任意正交变换，都可以在V的任意一组基下表示为正交矩阵。因此选项A正确。

答：亲亲相关拓展：选项B和C都是错误的。对于有限锥欧式空间v的任意正交变换，其实特征值只有1的情况是存在的，但不是唯一的，也可能不存在。因此，选项B是错误的。另外，一个正交变换不一定能在某一组基下表示为对角矩阵，因此选项C也是错误的。因此，选项A是正确的，选项B、C、D都是错误的。

问：设V₁,V₂,V₃是线性空间V的子空间并且V₃⊆V₁.证明:V₁ ∩ (V₂+ V₃) =(V₁∩V₂)+V₃.

答：为了证明V₁ ∩ (V₂+ V₃) =(V₁∩V₂)+V₃，我们需要证明两个方向的包含关系。首先，假设v ∈ V₁ ∩ (V₂+ V₃)，我们需要证明v ∈ (V₁∩V₂)+V₃。由于v ∈ V₁ ∩ (V₂+ V₃)，所以v同时属于V₁和V₂+V₃。也就是说，v ∈ V₁ 且 v ∈ V₂+V₃，那么我们可以将V₂+V₃分解为V₂和V₃之和，即v ∈ V₁ 且 v ∈ V₂+V₃ = V₂ + V₃。根据向量相加的定义，可以将V₂+V₃中的向量表示为V₂中的向量与V₃中的向量的和，即v = v₂ + v₃，其中v₂ ∈ V₂，v₃ ∈ V₃。由于v ∈ V₁，也就意味着v₂ ∈ V₁。因此，我们可以得到v₂ ∈ V₁∩V₂，v₃ ∈ V₃，从而有v = v₂ + v₃ ∈ (V₁∩V₂)+V₃。然后，假设v ∈ (V₁∩V₂)+V₃，我们需要证明v ∈ V₁ ∩ (V₂+V₃)。我们可以将v表示为两个向量之和，即v = v₁ + v₃，其中v₁ ∈ V₁∩V₂，v₃ ∈ V₃。因为v₁ ∈ V₁∩V₂，所以v₁ ∈ V₁ 且 v₁ ∈ V₂。由于v = v₁ + v₃，我们可以得到v ∈ V₂+V₃。另外，由于v₁ ∈ V₁，因此v₁ ∈ V₁∩(V₂+V₃)。综上所述，v ∈ V₁ ∩ (V₂+V₃)。因此，我们证明了V₁ ∩ (V₂+ V₃) =(V₁∩V₂)+V₃。

答：亲，您可以打字吗

问：对于实对称矩阵A= 0111 1011 1101 1110求正交方阵T使得T’AT成对角形

问：可以吗

答：首先，我们需要求出实对称矩阵A的特征值和特征向量。由于A是实对称矩阵，所以其特征值都是实数。对于A，我们可以利用行列式求解其特征多项式：|A-λI| =|0 1 1 1 ||1 0 1 1 ||1 1 0 1 ||1 1 1 0 | - λ|1 0 0 0 ||0 1 0 0 ||0 0 1 0 ||0 0 0 1 |= -(λ-3)(λ+1)^3特征值为λ1=3，λ2=-1。对于每个特征值，我们需要求出对应的特征向量。首先求λ1=3时的特征向量。(A-λ1I)x = (A-3I)x = 0可以得到线性方程组：-3x2 - 3x3 - 3x4 = 0x1 - 3x3 - 3x4 = 0x1 + x2 - 3x4 = 0x1 + x2 + x3 = 0解得x1=1，x2=-1，x3=-1，x4=1，即特征向量v1=[1, -1, -1, 1]。

答：接下来求λ2=-1时的特征向量。(A-λ2I)x = (A+I)x = 0可以得到线性方程组：x2 + x3 + x4 = 0x1 + x3 + x4 = 0x1 + x2 + x4 = 0x1 + x2 + x3 = 0解得x1=1，x2=-1，x3=1，x4=-1，即特征向量v2=[1, -1, 1, -1]。将特征向量标准化，得到：u1 = v1 / ||v1|| = [1/2, -1/2, -1/2, 1/2]u2 = v2 / ||v2|| = [1/2, -1/2, 1/2, -1/2]将标准化后的特征向量按列组成矩阵U，即U = [1/2 1/2; -1/2 -1/2; -1/2 1/2; 1/2 -1/2]则UT =[1/2 -1/2 -1/2 1/2;1/2 -1/2 1/2 -1/2]是一个正交矩阵，满足T'AT为对角矩阵。其中，对角线上的元素为特征值，即3和-1。