Question

已知0<a<b<1,且a+b=1,那么a²＋b²>1/2，如何证明？

Answer 1

这是一道希望杯的题目
原题是：已知0<a<b<1,且a+b=1,那么a,b,a2+b2,1/2四个数的大小关系是___________

解:∵0<a<b<1,且a+1.

∴ a<1/2<b

又2(a2+b2)>a2+b2+2ab=(a+b)2=1.

∴a2+b2>1/2

又b=b(a+b)=ab+b2>a2+b2.

四个数大小关系是ab<1/2<a2+b2<b.

所以你要求的那个是

:∵0<a<b<1,且a+1.

∴ a<1/2<b

又2(a2+b2)>a2+b2+2ab=(a+b)2=1.

∴a2+b2>1/2

Answer 2

0<a<b a²＋b²>2ab
2 （a²＋b²）=a²＋b²+a²＋b²>a²＋b²+2ab=(a+b)^2=1
a²＋b²>1/2

Answer 3

a^2+b^2
=1/2[(a+b)^2+(a-b)^2]
>1/2(a+b)^2
=1/2

Answer 4

证明：0＜a＜b＜1.a+b=1.===>(a-b)²＞0.===>a²+b²＞2ab.===>2(a²+b²)＞a²+2ab+b²=(a+b)²=1.===>2(a²+b²)＞1.===>a²+b²＞1/2.

Answer 5

用几何方法解 比较直观些

整个正方形的边长是1，大的黄色正方形块的边长是b，小的是a。黄色区域的面积是a&sup2;＋b&sup2;（图1）

将整个正方形平均分成四块，蓝线表示（图2）

将图3中绿色的区域对称到上面和右面 如图4，

红色区域是重叠部分，重叠了三次

所以 a&sup2;＋b&sup2;=1/4(左下角的黄色区域)+1/4(右上角的黄色+绿色+红色区域)+2*（1/2-a)&sup2;>1/2

Answer 6

用我的，初中知识简单解决
由题，a=1-b
代回去得
b²+（1-b）²
=2b²-2b+1
=2（b-1/2）²+1/2＞1/2