2yy"=y'²+y² y(0)=1 y'(0)=-1 求微分方程一个特解
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设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,
方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,①
由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,
2lnp=lny+lnc,
p^2=cy,p=土√(cy),
设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},
代入①，y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,
所以c'(y)=1,
c(y)=y+c,
所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,
所以-1=-√(1+c),c=0.
所以y'=-y
所以,y=e^(-x)+c1,
y(0)=1,所以c1=0,
所以y=e^(-x).
咨询记录 · 回答于2021-10-06
2yy"=y'²+y² y(0)=1 y'(0)=-1 求微分方程一个特解
你好，很高兴为你服务，我是小离爱学习，百度知道资深解答家，累计服务3000人，能帮你很好的解答问题。这边打字需要时间，请您稍等一下哦~
设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,①由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,2lnp=lny+lnc,p^2=cy,p=土√(cy),设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},代入①，y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,所以c'(y)=1,c(y)=y+c,所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,所以-1=-√(1+c),c=0.所以y'=-y所以,y=e^(-x)+c1,y(0)=1,所以c1=0,所以y=e^(-x).
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