-π/4到π/4上的(1+tanx)/(secx)²的不定积分
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∫√(x^2+1) dx
＝∫√(tan^2 t +1)/cos^2 t dt
＝∫1/cos^3 t
dt
＝∫[1/(cosx)^3]dx=∫secxd(tanx)=secxtanx-∫tanxd(secx)=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-∫[1/(cosx)^3]dx∴2∫[1/(cosx)^3]dx=secxtanx+ln|secx+tanx|+C1即∫[1/(cosx)^3]dx=（1/2）·(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C
咨询记录 · 回答于2021-12-26
-π/4到π/4上的(1+tanx)/(secx)²的不定积分
您好，我这边正在为您查询，请稍等片刻，我这边马上回复您~
就是这个
稍等
您好，很高兴为您解答。不定积分可以看作是导数的逆运算。其结果为一族函数。定积分的结果为一个数字，它们的本质是不同的。定积分最初是人们在求面积和体积问题中发现的一种方法，它可通过极限的思想把这类问题解决。定积分与不定积分原本是没什么关系的。后来牛顿和莱不尼兹发现了“牛顿－莱不尼兹公式”，通过这个公式，可以把定积分的问题转化为不定积分，然后计算，这样才使二者有了关系。方法就是先把定积中的不定积分求出来，然后将上下限代入再相减，可得出定积分的结果。
比如1/(secX+secXtanX)的不定积分
∫√(x^2+1) dx＝∫√(tan^2 t +1)/cos^2 t dt＝∫1/cos^3 t dt＝∫[1/(cosx)^3]dx=∫secxd(tanx)=secxtanx-∫tanxd(secx)=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-∫[1/(cosx)^3]dx∴2∫[1/(cosx)^3]dx=secxtanx+ln|secx+tanx|+C1即∫[1/(cosx)^3]dx=（1/2）·(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C
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