Question

两个半径为1的圆柱体正交,公共部分的体积等于

Answer 1

问：两个半径为1的圆柱体正交,公共部分的体积等于

答：设两个圆柱面，其一x^2+y^2=R^2,母线和Z轴平行，其二x^2+z^2=R^2,母线和y轴平行,,考虑对称性，只计算第一卦限，再乘以8即可，在第一卦限上，在XOY平面投影D为1/4圆，x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆，而在YOZ平面投影是正方形，V=8∫[D]∫√（R^2-x^2)dxdy=8∫[0，R]dx∫[0，√（R^2-x^2)] dy=8∫[0，R] [0，√（R^2-x^2)] √（R^2-x^2) y dx=8∫[0，R](R^2-x^2)dx=8(R^2x-x^3/3[0,R]=8(R^3-R^3/3)=16R^3/3.