两个半径为1的圆柱体正交,公共部分的体积等于
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咨询记录 · 回答于2022-06-27
两个半径为1的圆柱体正交,公共部分的体积等于
设两个圆柱面,其一x^2+y^2=R^2,母线和Z轴平行,其二x^2+z^2=R^2,母线和y轴平行,,考虑对称性,只计算第一卦限,再乘以8即可,在第一卦限上,在XOY平面投影D为1/4圆,x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆,而在YOZ平面投影是正方形,V=8∫[D]∫√(R^2-x^2)dxdy=8∫[0,R]dx∫[0,√(R^2-x^2)] dy=8∫[0,R] [0,√(R^2-x^2)] √(R^2-x^2) y dx=8∫[0,R](R^2-x^2)dx=8(R^2x-x^3/3[0,R]=8(R^3-R^3/3)=16R^3/3.
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