21.12分已知函数 f(x)=(2^x-3)/(2^x+1)+
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已知函数 $f(x)=\frac{2^x-3}{2^x+1}$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上是增函数。根据定义，我们需要证明对于任意 $0 \leq x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) < f(x_2)$。
首先，我们将 $f(x)$ 转换为更易于分析的形式：
$f(x)=2-\frac{5}{x+1}$
接下来，计算 $f(x_2)-f(x_1)$：
$f(x_2)-f(x_1)=\frac{5}{x_1+1}-\frac{5}{x_2+1}=\frac{5(x_2-x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$
由于 $0 \leq x_1 x_2$，则 $x_2-x_1 > 0$ 且 $x_1+1 > 0$，$x_2+1 > 0$。因此，分子 $5(x_2-x_1) > 0$，分母 $(x_1+1)(x_2+1) > 0$，所以 $f(x_2)-f(x_1) > 0$。
根据单调性的定义，由于 $f(x_2)-f(x_1) > 0$，我们可以得出 $f(x_2) > f(x_1)$。因此，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上是增函数。
咨询记录 · 回答于2023-12-30
21.12分已知函数 f(x)=(2^x-3)/(2^x+1)+
已知函数 $f(x)=\frac{2^x-3}{2^x+1}$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上是增函数。根据定义，我们需要证明对于任意 $0 \leq x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) < f(x_2)$。
首先，将 $f(x)$ 变形为 $f(x)=2-\frac{5}{x+1}$。这样更便于我们进行后续的证明。
接下来，计算 $f(x_2)-f(x_1)$：
$f(x_2)-f(x_1) = \frac{5}{x_1+1} - \frac{5}{x_2+1} = \frac{5(x_2-x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$
由于 $0 \leq x_1 x_2$，我们知道 $x_2-x_1 > 0$。同时，$(x_1+1)(x_2+1) > 0$。因此，$f(x_2)-f(x_1) > 0$。
这就证明了 $f(x_1) < f(x_2)$，即函数 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上是增函数。
f（x）=（2x-3）/（x+1）=2-5/（x+1）在(-1,+∞)内是增函数，
事实上，设-10,x2-x1>0,
f(x1)-f(x2)=-5/(x1+1)-5/(x2+1)=-5(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]<0,
所以f(x1)
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