Question

已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x方+2x+3与y轴交于点A，其顶点坐标为B。求直线AB的表达式

Answer 1

问：已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x方+2x+3与y轴交于点A，其顶点坐标为B。求直线AB的表达式

答：（1）抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x+2$．顶点B坐标为（1，3）． （2）$\cot\angle AMB=m^{2}$． （3）点Q的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）． 【解析】 试题分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x+c$可求得c的值； （2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m^{2}，最后利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此$QP=3$，然后由点QO=PO，$QP\parallel y$轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为$x=1$，∴$x=\frac{1}{2}=1$，即 $\frac{1}{2}=1$，解得b=2． ∴$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x+c$． 将A（2，2）代入得：$\frac{1}{2} \times 4+4+c=2$，解得：$c=-2$． ∴抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x-2$． （2）过点A作AC⊥BM，垂足为C， ∴AC=1，MC=m^{2}， ∴$\cot\angle AMB=\frac{AC}{MC}=m^{2}$． （3）由平移后抛物线的顶点在x轴上， ∴平移的方向和距离为向下平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为：$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x-5$． 设点P的坐标为（a，0），则点Q的坐标为（a，-3）， ∵点QO=PO， ∴点Q和P关于x对称， ∴点Q的纵坐标为3， 将y=3代入$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x-5$中得： $\frac{1}{2}x^{2}+2x-5=3$，解得：$x_{1}=-4$，$x_{2}=3$． ∴点Q的坐标为（-4，3）或（3，3）．

问：A点是怎么算出来的呀

答：解得：x1=-1，x2=3，故抛物线与x轴交点为：（-1，0），（3，0），当x=0，则y=3，则抛物线与y轴交点为：（0，3），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，