Question

已知三条直线l1:x+2y-1=0,l2:2x+y+1=0,l3:ax-y+2=0两两相交,则a的取值范围是

Answer 1

问：已知三条直线l1:x+2y-1=0,l2:2x+y+1=0,l3:ax-y+2=0两两相交,则a的取值范围是

答：首先，我们需要求出直线 $l1$ 和 $l2$ 的交点和直线 $l1$ 和 $l3$ 的交点，以确定直线 $l3$ 是否与这两条直线相交。将直线 $l1$ 和 $l2$ 联立，得到 $x=-1$ 和 $y=1$，因此它们的交点为 $P(-1,1)$。将直线 $l1$ 和 $l3$ 联立，得到 $x = \frac{y-2}{a}$。将其代入直线 $l1$ 的方程中，得到 $y = \frac{3}{a+2}$，将其代入 $x = \frac{y-2}{a}$ 中，得到 $x = \frac{-a-1}{a+2}$。因此，直线 $l3$ 与直线 $l1$ 的交点为 $Q(\frac{-a-1}{a+2}, \frac{3}{a+2})$。由于直线 $l3$ 与直线 $l1$ 和 $l2$ 都相交，所以 $Q$ 点必须在直线 $l2$ 的上方。将 $Q$ 点的纵坐标代入直线 $l2$ 的方程中，得到 $\frac{5a+7}{a+2}>0$，即 $a>-2$。同时，由于直线 $l1$ 和 $l2$ 相交于 $P$ 点，所以直线 $l3$ 不能经过 $P$ 点。将 $Q$ 点的横坐标代入直线 $l2$ 的方程中，得到 $-a-2\neq0$，即 $a\neq-2$。因此，$a$ 的取值范围为 $a>-2$ 且 $a\neq-2$，即 $a\in(-2,+\infty)\backslash{-2}$。